Exercício 2 Suponha que uma palavra seja selecionada aleatoriamente da frase “O rato rói a roupa do rei de Roma”. Se
denota o número de letras na palavra selecionada, qual é o valor de
?
Passo 1
O enunciado pede: calcular
, a esperança (valor esperado) da variável aleatória
que representa o número de letras da palavra selecionada aleatoriamente da frase “O rato rói a roupa do rei de Roma”. Informações dadas (extraídas da frase):
- As palavras, em ordem, são: O, rato, rói, a, roupa, do, rei, de, Roma.
- O total de palavras é
. - Contagem de letras em cada palavra (cada número abaixo foi obtido contando as letras da palavra correspondente):
- “O”:
- “rato”:
- “rói”:
- “a”:
- “roupa”:
- “do”:
- “rei”:
- “de”:
- “Roma”:
- “O”:
Passo 2
O que significa
e como vamos calcular: vou explicar a ideia com calma.
- Definição prática: para uma variável aleatória discreta
que assume valores com probabilidades , a esperança é
Aqui
são os possíveis números de letras e
são as probabilidades de selecionar uma palavra que tenha esse número de letras.
- No problema, a palavra é selecionada aleatoriamente entre as
palavras. Isso implica que cada palavra tem probabilidade igual de ser escolhida, ou seja, a probabilidade de uma palavra específica é . - Intuição: a esperança é a média ponderada dos comprimentos das palavras, ponderada pelas probabilidades de escolher cada palavra. Como todas têm probabilidade igual, a esperança será simplesmente a média aritmética dos números de letras.
Passo 3
Determinar a função massa de probabilidade agrupando comprimentos iguais (frequências):
- Valores possíveis de
e suas frequências (contadas a partir da lista do Passo 1): -
: ocorre para “O” e “a” → frequência ⇒ . -
: ocorre para “do” e “de” → frequência ⇒ . -
: ocorre para “rói” e “rei” → frequência ⇒ . -
: ocorre para “rato” e “Roma” → frequência ⇒ . -
: ocorre para “roupa” → frequência ⇒ .
-
- Cheque rápido: as probabilidades somam
o que está consistente.
Passo 4
Aplicar a fórmula da esperança usando a distribuição encontrada. Vou mostrar as contas detalhadas:
Agora calculo termo a termo:
Somando:
Passo 5
Atalho prático (mesma conta, outra visão): como cada palavra tem probabilidade
,
é a média aritmética dos comprimentos. Soma dos comprimentos (contada no Passo 1) é
portanto
Passo 6
Interpretação final e incentivo: a esperança
significa que, em média (se repetíssemos a escolha muitas vezes), o número de letras da palavra selecionada tende a cerca de
. Bom trabalho — você conseguiu organizar a informação e aplicar a definição de esperança passo a passo!