Exercício 2 Suponha que uma palavra seja selecionada aleatoriamente da frase “O rato rói a roupa do rei de Roma”. Se X denota o número de letras na palavra selecionada, qual é o valor de E(X) ?

Passo 1

O enunciado pede: calcular E(X), a esperança (valor esperado) da variável aleatória X que representa o número de letras da palavra selecionada aleatoriamente da frase “O rato rói a roupa do rei de Roma”. Informações dadas (extraídas da frase):
  • As palavras, em ordem, são: O, rato, rói, a, roupa, do, rei, de, Roma.
  • O total de palavras é 9.
  • Contagem de letras em cada palavra (cada número abaixo foi obtido contando as letras da palavra correspondente):
    • “O”: 1
    • “rato”: 4
    • “rói”: 3
    • “a”: 1
    • “roupa”: 5
    • “do”: 2
    • “rei”: 3
    • “de”: 2
    • “Roma”: 4

Passo 2

O que significa E(X) e como vamos calcular: vou explicar a ideia com calma.
  • Definição prática: para uma variável aleatória discreta X que assume valores x_1,x_2,\dots,x_n com probabilidades p_1,p_2,\dots,p_n, a esperança é
E(X)=\sum_{i} x_i p_i.
Aqui x_i são os possíveis números de letras e p_i são as probabilidades de selecionar uma palavra que tenha esse número de letras.
  • No problema, a palavra é selecionada aleatoriamente entre as 9 palavras. Isso implica que cada palavra tem probabilidade igual de ser escolhida, ou seja, a probabilidade de uma palavra específica é \tfrac{1}{9}.
  • Intuição: a esperança é a média ponderada dos comprimentos das palavras, ponderada pelas probabilidades de escolher cada palavra. Como todas têm probabilidade igual, a esperança será simplesmente a média aritmética dos números de letras.

Passo 3

Determinar a função massa de probabilidade agrupando comprimentos iguais (frequências):
  • Valores possíveis de X e suas frequências (contadas a partir da lista do Passo 1):
    • X=1: ocorre para “O” e “a” → frequência 2 P(X=1)=\tfrac{2}{9}.
    • X=2: ocorre para “do” e “de” → frequência 2 P(X=2)=\tfrac{2}{9}.
    • X=3: ocorre para “rói” e “rei” → frequência 2 P(X=3)=\tfrac{2}{9}.
    • X=4: ocorre para “rato” e “Roma” → frequência 2 P(X=4)=\tfrac{2}{9}.
    • X=5: ocorre para “roupa” → frequência 1 P(X=5)=\tfrac{1}{9}.
  • Cheque rápido: as probabilidades somam
\tfrac{2}{9}+\tfrac{2}{9}+\tfrac{2}{9}+\tfrac{2}{9}+\tfrac{1}{9}=\tfrac{9}{9}=1,
o que está consistente.

Passo 4

Aplicar a fórmula da esperança usando a distribuição encontrada. Vou mostrar as contas detalhadas:
E(X)=\sum_{k} k\,P(X=k)=1\cdot \tfrac{2}{9}+2\cdot \tfrac{2}{9}+3\cdot \tfrac{2}{9}+4\cdot \tfrac{2}{9}+5\cdot \tfrac{1}{9}.
Agora calculo termo a termo:
1\cdot \tfrac{2}{9}=\tfrac{2}{9},\qquad 2\cdot \tfrac{2}{9}=\tfrac{4}{9},\qquad 3\cdot \tfrac{2}{9}=\tfrac{6}{9},
4\cdot \tfrac{2}{9}=\tfrac{8}{9},\qquad 5\cdot \tfrac{1}{9}=\tfrac{5}{9}.
Somando:
E(X)=\tfrac{2}{9}+\tfrac{4}{9}+\tfrac{6}{9}+\tfrac{8}{9}+\tfrac{5}{9}=\tfrac{2+4+6+8+5}{9}=\tfrac{25}{9}.

Passo 5

Atalho prático (mesma conta, outra visão): como cada palavra tem probabilidade \tfrac{1}{9}, E(X) é a média aritmética dos comprimentos. Soma dos comprimentos (contada no Passo 1) é
1+4+3+1+5+2+3+2+4=25,
portanto
E(X)=\dfrac{25}{9}\approx 2{,}777\ldots

Passo 6

Interpretação final e incentivo: a esperança E(X)=\dfrac{25}{9} significa que, em média (se repetíssemos a escolha muitas vezes), o número de letras da palavra selecionada tende a cerca de 2{,}78. Bom trabalho — você conseguiu organizar a informação e aplicar a definição de esperança passo a passo!

Resposta

E(X)=\dfrac{25}{9}\approx2{,}777\ldots

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