Exercício 3 Suponha
uma variável discreta uniformemente distriuída no conjunto
. Determine
e
. Dica: Use as identidades:
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
-
é uma variável aleatória discreta que assume os valores . - A distribuição é uniforme no conjunto
, ou seja, todos os valores têm a mesma probabilidade. - Pede-se para determinar
e .
Informações úteis fornecidas (peguei essas fórmulas do enunciado):
Passo 2
Vou lembrar e explicar a definição de esperança (valor esperado) para variáveis discretas, porque isso é a base do cálculo aqui.
Definição: se
é discreta e toma valores
com probabilidades
, então a esperança de uma função
é
Aqui
é qualquer função (por exemplo
ou
), e a soma é sobre todos os valores possíveis de
.
No nosso caso:
- os valores possíveis são
para , - por uniformidade
para todo .
Portanto, para calcular
e
vamos aplicar a fórmula com
e
, respectivamente.
Passo 3
Calcular
.
Pela definição,
Fatorando
para fora da soma,
Agora uso a identidade dada para
:
Substituindo,
Simplificando o fator
(dividindo
por
),
Comentário prático: essa fórmula diz que a esperança da distribuição uniforme discreta de
a
é simplesmente a média aritmética do primeiro e do último termo. Exemplo rápido (para fixar): se
então
, que bate com a média de
.
Passo 4
Calcular
.
Pela definição,
Fatorando
,
Agora uso a identidade dada para
:
Substituindo,
Simplificando o
(o fator
no numerador com o denominador
),
Passo 5
Pequena interpretação e reforço (útil para prova): as duas respostas são fórmulas em termos de
.
-
é a média do intervalo . -
aparece frequentemente ao trabalhar com variâncias; por exemplo a variância de seria
e, se precisar na prova, substituindo as expressões encontradas obtém-se uma fórmula fechada para
.
Exemplo numérico rápido para conferir: se
,
e calcular a variância daria
.