Exercício 3 Suponha X uma variável discreta uniformemente distriuída no conjunto \{1,2, \ldots, N\}. Determine E[X] e E\left[X^{2}\right]. Dica: Use as identidades:
\sum_{k=1}^{N} k=\frac{N(N+1)}{2}, \quad \sum_{k=1}^{N} k^{2}=\frac{N(N+1)(2 N+1)}{6} .

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • X é uma variável aleatória discreta que assume os valores 1,2,\ldots,N.
  • A distribuição é uniforme no conjunto \{1,2,\ldots,N\}, ou seja, todos os valores têm a mesma probabilidade.
  • Pede-se para determinar E[X] e E\left[X^{2}\right].
Informações úteis fornecidas (peguei essas fórmulas do enunciado):
\sum_{k=1}^{N} k=\frac{N(N+1)}{2},\qquad \sum_{k=1}^{N} k^{2}=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}.

Passo 2

Vou lembrar e explicar a definição de esperança (valor esperado) para variáveis discretas, porque isso é a base do cálculo aqui.
Definição: se X é discreta e toma valores x_k com probabilidades p_k=\mathbb{P}(X=x_k), então a esperança de uma função g(X) é
E[g(X)]=\sum_{k} g(x_k)\,p_k.
Aqui g é qualquer função (por exemplo g(x)=x ou g(x)=x^2), e a soma é sobre todos os valores possíveis de X.
No nosso caso:
  • os valores possíveis são x_k=k para k=1,\dots,N,
  • por uniformidade p_k=\mathbb{P}(X=k)=\dfrac{1}{N} para todo k.
Portanto, para calcular E[X] e E[X^2] vamos aplicar a fórmula com g(x)=x e g(x)=x^2, respectivamente.

Passo 3

Calcular E[X].
Pela definição,
E[X]=\sum_{k=1}^{N} k\cdot \mathbb{P}(X=k)=\sum_{k=1}^{N} k\cdot \frac{1}{N}.
Fatorando \dfrac{1}{N} para fora da soma,
E[X]=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N} k.
Agora uso a identidade dada para \sum_{k=1}^{N} k:
\sum_{k=1}^{N} k=\frac{N(N+1)}{2}.
Substituindo,
E[X]=\frac{1}{N}\cdot\frac{N(N+1)}{2}.
Simplificando o fator N (dividindo N(N+1) por N),
E[X]=\frac{N+1}{2}.
Comentário prático: essa fórmula diz que a esperança da distribuição uniforme discreta de 1 a N é simplesmente a média aritmética do primeiro e do último termo. Exemplo rápido (para fixar): se N=3 então E[X]=(3+1)/2=2, que bate com a média de \{1,2,3\}.

Passo 4

Calcular E\left[X^{2}\right].
Pela definição,
E[X^{2}]=\sum_{k=1}^{N} k^{2}\cdot \mathbb{P}(X=k)=\sum_{k=1}^{N} k^{2}\cdot\frac{1}{N}.
Fatorando \dfrac{1}{N},
E[X^{2}]=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N} k^{2}.
Agora uso a identidade dada para \sum_{k=1}^{N} k^{2}:
\sum_{k=1}^{N} k^{2}=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}.
Substituindo,
E[X^{2}]=\frac{1}{N}\cdot\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}.
Simplificando o N (o fator N no numerador com o denominador N),
E[X^{2}]=\frac{(N+1)(2N+1)}{6}.

Passo 5

Pequena interpretação e reforço (útil para prova): as duas respostas são fórmulas em termos de N.
  • E[X]=\dfrac{N+1}{2} é a média do intervalo \{1,\ldots,N\}.
  • E[X^{2}]=\dfrac{(N+1)(2N+1)}{6} aparece frequentemente ao trabalhar com variâncias; por exemplo a variância de X seria
\operatorname{Var}(X)=E[X^{2}]-\big(E[X]\big)^{2},
e, se precisar na prova, substituindo as expressões encontradas obtém-se uma fórmula fechada para \operatorname{Var}(X).
Exemplo numérico rápido para conferir: se N=4,
E[X]=\frac{4+1}{2}=2{,}5, \qquad E[X^{2}]=\frac{(4+1)(2\cdot4+1)}{6}=\frac{5\cdot9}{6}= \frac{45}{6}=7{,}5,
e calcular a variância daria 7{,}5-(2{,}5)^2=7{,}5-6{,}25=1{,}25.

Resposta

E[X]=\frac{N+1}{2}
E\left[X^{2}\right]=\frac{(N+1)(2N+1)}{6}

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