Exercício 1 Em uma turma com 50 estudantes, a tabela a seguir descreve a frequência de alunos para cada idade.
Idade
Frequência
18
20
19
22
20
4
21
3
25
1
Se um estudante for selecionado aleatoriamente da turma, qual é o valor esperado da idade do estudante?
| Idade | Frequência |
| 18 | 20 |
| 19 | 22 |
| 20 | 4 |
| 21 | 3 |
| 25 | 1 |
Passo 1
O enunciado pede: “Se um estudante for selecionado aleatoriamente da turma, qual é o valor esperado da idade do estudante?”
As informações fornecidas (frequências por idade) são:
As informações fornecidas (frequências por idade) são:
- Idade
: frequência - Idade
: frequência - Idade
: frequência - Idade
: frequência - Idade
: frequência
O total de estudantes é
. Essas são todas as informações que usaremos.
Passo 2
Vamos definir a variável aleatória
como a idade do estudante selecionado aleatoriamente. O valor esperado (ou média) de uma variável aleatória discreta
é dado por:
onde:
-
são os valores possíveis da variável (aqui as idades), -
é a probabilidade de assumir o valor .
Explicando devagar:
é uma média ponderada das idades, cada idade ponderada pela sua probabilidade de ocorrer. No caso de frequências, a probabilidade é simplesmente a frequência relativa:
Passo 3
Calcular as probabilidades de cada idade usando frequências divididas pelo total
:
Verificação rápida: a soma das probabilidades deve ser
:
Tudo fechado — sem erro nas probabilidades.
Passo 4
Agora calculamos cada termo
, ou seja, a contribuição de cada idade para a média:
Passo 5
Somamos as contribuições para obter
:
Também é possível fazer tudo em forma de fração a partir das frequências:
E
é exatamente
.
Passo 6
Interpretação rápida e dica para prova: o valor esperado
é a média das idades ponderada pelas frequências. Na prova, calcule sempre as probabilidades como frequência dividida pelo total, verifique que somam 1 e some as contribuições
. Isso evita erros bobos — respira fundo e faz passo a passo!