Exercício 1 Em uma turma com 50 estudantes, a tabela a seguir descreve a frequência de alunos para cada idade.
Idade Frequência
18 20
19 22
20 4
21 3
25 1
Se um estudante for selecionado aleatoriamente da turma, qual é o valor esperado da idade do estudante?

Passo 1

O enunciado pede: “Se um estudante for selecionado aleatoriamente da turma, qual é o valor esperado da idade do estudante?”
As informações fornecidas (frequências por idade) são:
  • Idade 18: frequência 20
  • Idade 19: frequência 22
  • Idade 20: frequência 4
  • Idade 21: frequência 3
  • Idade 25: frequência 1
O total de estudantes é 50. Essas são todas as informações que usaremos.

Passo 2

Vamos definir a variável aleatória X como a idade do estudante selecionado aleatoriamente. O valor esperado (ou média) de uma variável aleatória discreta X é dado por:
E[X]=\sum_{i} x_i\,P(X=x_i),
onde:
  • x_i são os valores possíveis da variável (aqui as idades),
  • P(X=x_i) é a probabilidade de X assumir o valor x_i.
Explicando devagar: E[X] é uma média ponderada das idades, cada idade ponderada pela sua probabilidade de ocorrer. No caso de frequências, a probabilidade é simplesmente a frequência relativa:
P(X=x_i)=\frac{\text{frequência de }x_i}{\text{total de observações}}.êçõ

Passo 3

Calcular as probabilidades de cada idade usando frequências divididas pelo total 50:
P(X=18)=\frac{20}{50}=\frac{2}{5}=0,4,
P(X=19)=\frac{22}{50}=\frac{11}{25}=0,44,
P(X=20)=\frac{4}{50}=\frac{2}{25}=0,08,
P(X=21)=\frac{3}{50}=0,06,
P(X=25)=\frac{1}{50}=0,02.
Verificação rápida: a soma das probabilidades deve ser 1:
0,4+0,44+0,08+0,06+0,02=1.
Tudo fechado — sem erro nas probabilidades.

Passo 4

Agora calculamos cada termo x_i\,P(X=x_i), ou seja, a contribuição de cada idade para a média:
18\cdot 0,4 = 7,2,
19\cdot 0,44 = 8,36,
20\cdot 0,08 = 1,6,
21\cdot 0,06 = 1,26,
25\cdot 0,02 = 0,5.

Passo 5

Somamos as contribuições para obter E[X]:
E[X]=7,2+8,36+1,6+1,26+0,5=18,92.
Também é possível fazer tudo em forma de fração a partir das frequências:
E[X]=\frac{18\cdot20+19\cdot22+20\cdot4+21\cdot3+25\cdot1}{50}=\frac{946}{50}=\frac{473}{25}.
E \dfrac{473}{25} é exatamente 18,92.

Passo 6

Interpretação rápida e dica para prova: o valor esperado 18,92 é a média das idades ponderada pelas frequências. Na prova, calcule sempre as probabilidades como frequência dividida pelo total, verifique que somam 1 e some as contribuições x_iP(X=x_i). Isso evita erros bobos — respira fundo e faz passo a passo!

Resposta

\dfrac{473}{25}=18,92

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