Nos Exercícios 1 e 2, considere \mathbf{u}=\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -1\end{array}\right] e \mathbf{v}=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 4\end{array}\right]. Calcule
(a) (u, v) com o produto interno do Exemplo 2.
(b) \|\mathbf{u}\|
(c) \mathrm{d}(\mathbf{u}, \mathbf{v})

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos (sem resolver nada ainda).
  • Vetores dados: \mathbf{u}=\begin{pmatrix}2\\\ -1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}=\begin{pmatrix}3\\\ 4\end{pmatrix}.
  • O enunciado pede três coisas:
    (a) calcular (\mathbf{u},\mathbf{v}) “com o produto interno do Exemplo 2”;
    (b) calcular \|\mathbf{u}\|;
    (c) calcular \mathrm{d}(\mathbf{u},\mathbf{v}).
Observação importante: o enunciado refere-se ao “produto interno do Exemplo 2”, mas esse Exemplo 2 não foi enviado aqui; portanto não tenho a definição explícita desse produto interno. Como o produto interno e as quantidades (b) e (c) dependem da definição do produto interno, não é possível garantir que os valores finais sejam os que o enunciado original espera sem saber qual é esse Exemplo 2.
Para seguir adiante de forma útil sem pedir informações adicionais, vou assumir que o “produto interno do Exemplo 2” é o produto interno euclidiano padrão (o mais comum): (\mathbf{x},\mathbf{y})=x_1y_1+x_2y_2. Se o Exemplo 2 usar uma definição diferente (por exemplo, um produto interno ponderado com matriz), os passos abaixo mostram também como proceder nesse caso geral.

Passo 2

Definição e cálculo do produto interno (assumindo o produto interno euclidiano padrão).
  • Aula curta: o que é produto interno?
    Um produto interno em \mathbb{R}^2 é uma função que toma dois vetores e retorna um número real, satisfazendo propriedades como linearidade, simetria e positividade. O produto interno euclidiano padrão é a soma dos produtos coordenada a coordenada.
  • Fórmula (euclidiana): para \mathbf{x}=(x_1,x_2) e \mathbf{y}=(y_1,y_2),
    (\mathbf{x},\mathbf{y}) = x_1 y_1 + x_2 y_2.
    Aqui x_1 é a primeira componente de \mathbf{x}, x_2 a segunda; e y_1,y_2 são as componentes de \mathbf{y}.
  • Aplicando aos vetores dados:
    (\mathbf{u},\mathbf{v}) = 2\cdot 3 + (-1)\cdot 4.
    Calcule passo a passo:
    2\cdot 3 = 6,\qquad (-1)\cdot 4 = -4,
(\mathbf{u},\mathbf{v}) = 6 + (-4) = 2.

Passo 3

Definição e cálculo da norma \|\mathbf{u}\| (norma induzida pelo produto interno euclidiano).
  • Aula curta: o que é norma?
    A norma de um vetor mede seu “tamanho” e é derivada do produto interno pela fórmula \|\mathbf{x}\|=\sqrt{(\mathbf{x},\mathbf{x})}. No caso euclidiano isso é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes (teorema de Pitágoras).
  • Fórmula:
    \|\mathbf{u}\| = \sqrt{(\mathbf{u},\mathbf{u})} = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}.
    Aqui u_1=2 e u_2=-1.
  • Cálculo passo a passo:
    u_1^2 = 2^2 = 4,\qquad u_2^2 = (-1)^2 = 1,
(\mathbf{u},\mathbf{u}) = 4 + 1 = 5,
\|\mathbf{u}\| = \sqrt{5}.

Passo 4

Definição e cálculo da distância \mathrm{d}(\mathbf{u},\mathbf{v}).
  • Aula curta: o que é distância entre vetores?
    A distância induzida por um produto interno é a norma da diferença: \mathrm{d}(\mathbf{u},\mathbf{v})=\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|. Geometricamente, é o comprimento do segmento que une \mathbf{u} a \mathbf{v}.
  • Calcule a diferença coordenada a coordenada:
    \mathbf{u}-\mathbf{v} = \begin{pmatrix}2-3\\\\ -1-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\\\ -5\end{pmatrix}.
  • Norma dessa diferença (passo a passo):
    \|\mathbf{u}-\mathbf{v}\| = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2}.
(-1)^2 = 1,\qquad (-5)^2 = 25,
\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\| = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}.

Passo 5

Comentário final sobre a hipótese feita e o caso geral.
  • Relembrando: os resultados acima foram obtidos assumindo o produto interno euclidiano padrão. Se o “produto interno do Exemplo 2” for diferente (por exemplo, definido por uma matriz simétrica positiva A através de (\mathbf{x},\mathbf{y})=\mathbf{x}^T A \mathbf{y}), então as fórmulas gerais são:
    (\mathbf{u},\mathbf{v}) = \mathbf{u}^T A \mathbf{v},\qquad \|\mathbf{u}\| = \sqrt{\mathbf{u}^T A \mathbf{u}},\qquad \mathrm{d}(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \sqrt{(\mathbf{u}-\mathbf{v})^T A (\mathbf{u}-\mathbf{v})}.
    Nesse caso seria necessário conhecer A para obter números concretos.
  • Incentivo: se o Exemplo 2 usar alguma matriz A, envie essa matriz (ou confirme que o produto interno é o euclidiano) e eu recalculo passo a passo para você — mas, como você pediu, já deixei aqui o desenvolvimento completo para o caso mais comum (euclidiano), com todas as etapas que faria na prova.

Resposta

(a) 2
(b) \sqrt{5}
(c) \sqrt{26}

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