Nos Exercícios 5 e 6, considere
e
. Calcule
(a)
com o produto interno do Exemplo 4.
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá dois polinômios e pede três coisas:
- Polinômio
. - Polinômio
.
Perguntas:
(a) Calcularcom o “produto interno do Exemplo 4”.
(b) Calcular.
(c) Calcular.
Informação importante (faltando): o enunciado refere-se ao “produto interno do Exemplo 4”, mas essa definição não foi enviada aqui. Sem saber explicitamente qual é esse produto interno não é possível dar os valores numéricos finais com certeza, porque o resultado depende da fórmula do produto interno (por exemplo, produtos internos comuns são integrais como
,
, ou somas discretas; cada escolha dá resultados diferentes).
Vou, portanto, continuar assumindo explicitamente uma definição concreta para poder mostrar, passo a passo, como se calcula — e se for exatamente a definição do seu Exemplo 4, estes serão os resultados. Se a definição do seu Exemplo 4 for diferente, os passos mostram o procedimento e você pode repetir as integrais com a definição correta.
Passo 2
Assumirei que o produto interno do Exemplo 4 é o mais comum em espaços de polinômios usados em exercícios:
Justificativa curta: muitos livros usam esse produto interno em
(polinômios de grau ≤ n) porque é simples e tem propriedades intuitivas; escolhi
por ser simétrico e cancelar termos ímpares nas integrais — isso facilita cálculo manual e é pedagógico. Se o seu Exemplo 4 tiver outra definição, substitua essa definição e repita os mesmos passos de multiplicação e integração sobre a região adequada.
Explicação útil antes de calcular:
- Produto interno:
. Para polinômios multiplica-se e integra termo a termo. - Norma:
. - Distância:
.
Estas fórmulas são o que vamos aplicar.
Passo 3
Primeiro calcule o produto ponto a ponto
. Multiplicando:
Faço a expansão termo a termo:
Somando termos semelhantes:
Agora integro de
a
:
Observação prática: termos com potências ímpares (
e
) integram zero em
porque são funções ímpares. Então só preciso integrar os termos pares
.
Calculo antiderivadas:
Avalio de
a
. Defino
Então
Portanto
Passo 4
Definição:
. Então preciso calcular
.
Primeiro obtenho
. Com
,
Faço a expansão (mostrando cada termo):
Somando:
Integro de
a
. Novamente os termos ímpares (
e
) somam zero. Então
Calculo antiderivadas:
Defino
Avalio:
Logo
Assim a norma é
Passo 5
Distância definida por
.
Primeiro formo
:
Agora computo
. Expansão termo a termo:
Somando:
Integro de
a
. Termos ímpares (
e
) somam zero. Restam os pares:
Antiderivadas:
Defino
Avalio:
Portanto
Finalmente
Podemos simplificar a raiz um pouco:
, então
Resposta
Observação final: os cálculos acima assumem que o produto interno do Exemplo 4 é
. Se o Exemplo 4 usar outra definição, diga qual é (por exemplo
ou soma discreta) e eu repito os cálculos ajustando o intervalo/definição. Estou contigo — já fizemos o trabalho pesado; repetir é rápido.