Nos Exercícios 5 e 6, considere p(x)=2-3 x+x^{2} e q(x)=1-3 x^{2}. Calcule
(a) \langle p(x), q(x)\rangle com o produto interno do Exemplo 4.
(b) \|p(x)\|
(c) d(p(x), q(x))

Passo 1

O enunciado dá dois polinômios e pede três coisas:
  • Polinômio p(x)=2-3x+x^{2}.
  • Polinômio q(x)=1-3x^{2}.
    Perguntas:
    (a) Calcular \langle p(x),q(x)\rangle com o “produto interno do Exemplo 4”.
    (b) Calcular \|p(x)\|.
    (c) Calcular d(p(x),q(x)).
Informação importante (faltando): o enunciado refere-se ao “produto interno do Exemplo 4”, mas essa definição não foi enviada aqui. Sem saber explicitamente qual é esse produto interno não é possível dar os valores numéricos finais com certeza, porque o resultado depende da fórmula do produto interno (por exemplo, produtos internos comuns são integrais como \int_{-1}^{1} f(x)g(x)\,dx, \int_{0}^{1}\! f g, ou somas discretas; cada escolha dá resultados diferentes).
Vou, portanto, continuar assumindo explicitamente uma definição concreta para poder mostrar, passo a passo, como se calcula — e se for exatamente a definição do seu Exemplo 4, estes serão os resultados. Se a definição do seu Exemplo 4 for diferente, os passos mostram o procedimento e você pode repetir as integrais com a definição correta.

Passo 2

Assumirei que o produto interno do Exemplo 4 é o mais comum em espaços de polinômios usados em exercícios:
\langle f,g\rangle = \int_{-1}^{1} f(x)\,g(x)\,dx.
Justificativa curta: muitos livros usam esse produto interno em P_n (polinômios de grau ≤ n) porque é simples e tem propriedades intuitivas; escolhi [-1,1] por ser simétrico e cancelar termos ímpares nas integrais — isso facilita cálculo manual e é pedagógico. Se o seu Exemplo 4 tiver outra definição, substitua essa definição e repita os mesmos passos de multiplicação e integração sobre a região adequada.
Explicação útil antes de calcular:
  • Produto interno: \langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1} f(x)g(x)\,dx. Para polinômios multiplica-se e integra termo a termo.
  • Norma: \|f\|=\sqrt{\langle f,f\rangle}.
  • Distância: d(f,g)=\|f-g\|=\sqrt{\langle f-g,f-g\rangle}.
    Estas fórmulas são o que vamos aplicar.

Passo 3

Primeiro calcule o produto ponto a ponto p(x)\,q(x). Multiplicando:
p(x)q(x)=(2-3x+x^{2})(1-3x^{2}).
Faço a expansão termo a termo:
\begin{aligned} &2\cdot 1 = 2,\\\ &2\cdot(-3x^{2}) = -6x^{2},\\\ &(-3x)\cdot 1 = -3x,\\\ &(-3x)\cdot(-3x^{2}) = 9x^{3},\\\ &(x^{2})\cdot 1 = x^{2},\\\ &(x^{2})\cdot(-3x^{2}) = -3x^{4}. \end{aligned}
Somando termos semelhantes:
p(x)q(x)=2 -3x +(-6x^{2}+x^{2}) +9x^{3}-3x^{4} = 2 -3x -5x^{2} +9x^{3} -3x^{4}.
Agora integro de -1 a 1:
\langle p,q\rangle = \int_{-1}^{1} \big(2 -3x -5x^{2} +9x^{3} -3x^{4}\big)\,dx.
Observação prática: termos com potências ímpares ( -3x e 9x^{3}) integram zero em [-1,1] porque são funções ímpares. Então só preciso integrar os termos pares 2,-5x^{2},-3x^{4}.
Calculo antiderivadas:
\int 2\,dx = 2x,\qquad \int -5x^{2}\,dx = -\frac{5}{3}x^{3},\qquad \int -3x^{4}\,dx = -\frac{3}{5}x^{5}.
Avalio de -1 a 1. Defino
F(x)=2x -\frac{5}{3}x^{3} -\frac{3}{5}x^{5}.
Então
F(1)=2 -\frac{5}{3} -\frac{3}{5} = \frac{30-25-9}{15} = -\frac{4}{15},
F(-1)=-2 +\frac{5}{3} +\frac{3}{5} = \frac{-30+25+9}{15} = \frac{4}{15}.
Portanto
\langle p,q\rangle = F(1)-F(-1) = -\frac{4}{15}-\frac{4}{15} = -\frac{8}{15}.

Passo 4

Definição: \|p\|=\sqrt{\langle p,p\rangle}. Então preciso calcular \langle p,p\rangle=\int_{-1}^{1} p(x)^{2}\,dx.
Primeiro obtenho p(x)^{2}. Com p(x)=2-3x+x^{2},
p(x)^{2} = (2-3x+x^{2})^{2}.
Faço a expansão (mostrando cada termo):
\begin{aligned} (2)^{2} &= 4,\\\ (-3x)^{2} &= 9x^{2},\\\ (x^{2})^{2} &= x^{4},\\\\ 2\cdot 2\cdot(-3x) &= -12x,\\\\ 2\cdot 2\cdot x^{2} &= 4x^{2},\\\\ 2\cdot(-3x)\cdot x^{2} &= -6x^{3}. \end{aligned}
Somando:
p(x)^{2} = 4 -12x + (9x^{2}+4x^{2}) -6x^{3} + x^{4} = 4 -12x +13x^{2} -6x^{3} + x^{4}.
Integro de -1 a 1. Novamente os termos ímpares ( -12x e -6x^{3}) somam zero. Então
\langle p,p\rangle = \int_{-1}^{1} (4 +13x^{2} + x^{4})\,dx.
Calculo antiderivadas:
\int 4\,dx = 4x,\quad \int 13x^{2}\,dx = \frac{13}{3}x^{3},\quad \int x^{4}\,dx = \frac{1}{5}x^{5}.
Defino
G(x)=4x + \frac{13}{3}x^{3} + \frac{1}{5}x^{5}.
Avalio:
G(1)=4 + \frac{13}{3} + \frac{1}{5} = \frac{60+65+3}{15} = \frac{128}{15},
G(-1)=-4 -\frac{13}{3} -\frac{1}{5} = -\frac{128}{15}.
Logo
\langle p,p\rangle = G(1)-G(-1) = \frac{128}{15} -\left(-\frac{128}{15}\right) = \frac{256}{15}.
Assim a norma é
\|p\| = \sqrt{\frac{256}{15}} = \frac{16}{\sqrt{15}}.

Passo 5

Distância definida por d(p,q)=\|p-q\|=\sqrt{\langle p-q,\,p-q\rangle}.
Primeiro formo r(x)=p(x)-q(x):
r(x)= (2-3x+x^{2}) - (1-3x^{2}) = 1 -3x +4x^{2}.
Agora computo r(x)^{2}=(1-3x+4x^{2})^{2}. Expansão termo a termo:
\begin{aligned} 1^{2} &= 1,\\\ (-3x)^{2} &= 9x^{2},\\\ (4x^{2})^{2} &= 16x^{4},\\\\ 2\cdot 1\cdot(-3x) &= -6x,\\\\ 2\cdot 1\cdot 4x^{2} &= 8x^{2},\\\\ 2\cdot(-3x)\cdot 4x^{2} &= -24x^{3}. \end{aligned}
Somando:
r(x)^{2} = 1 -6x + (9x^{2}+8x^{2}) -24x^{3} +16x^{4} = 1 -6x +17x^{2} -24x^{3} +16x^{4}.
Integro de -1 a 1. Termos ímpares ( -6x e -24x^{3}) somam zero. Restam os pares:
\langle r,r\rangle = \int_{-1}^{1} (1 +17x^{2} +16x^{4})\,dx.
Antiderivadas:
\int 1\,dx = x,\quad \int 17x^{2}\,dx = \frac{17}{3}x^{3},\quad \int 16x^{4}\,dx = \frac{16}{5}x^{5}.
Defino
H(x)= x + \frac{17}{3}x^{3} + \frac{16}{5}x^{5}.
Avalio:
H(1)=1 + \frac{17}{3} + \frac{16}{5} = \frac{15+85+48}{15} = \frac{148}{15},
H(-1)=-1 -\frac{17}{3} -\frac{16}{5} = -\frac{148}{15}.
Portanto
\langle r,r\rangle = H(1)-H(-1) = \frac{148}{15} - \left(-\frac{148}{15}\right) = \frac{296}{15}.
Finalmente
d(p,q) = \sqrt{\frac{296}{15}}.
Podemos simplificar a raiz um pouco: 296 = 8\cdot 37 = 4\cdot 74, então
d(p,q)=\sqrt{\frac{296}{15}}=\frac{\sqrt{296}}{\sqrt{15}}=\frac{2\sqrt{74}}{\sqrt{15}}.

Resposta

\langle p,q\rangle = -\dfrac{8}{15}
\|p\| = \dfrac{16}{\sqrt{15}}
d(p,q)=\sqrt{\dfrac{296}{15}} = \dfrac{2\sqrt{74}}{\sqrt{15}}
Observação final: os cálculos acima assumem que o produto interno do Exemplo 4 é \langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1} f(x)g(x)\,dx. Se o Exemplo 4 usar outra definição, diga qual é (por exemplo \int_{0}^{1} ou soma discreta) e eu repito os cálculos ajustando o intervalo/definição. Estou contigo — já fizemos o trabalho pesado; repetir é rápido.

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