Em um experimento de microgotas destinado ao estudo de eletrização atmosférica, uma gota de água aproximadamente esféricas possui carga, Q=32 p C, e potencial elétrico de superfície, \mathrm{V}=600 \mathrm{~V}, adotando-se \mathrm{V}=0 no infinito. Posteriormente, duas gosta idênticas, inicialmente muito afastadas, se fundem em uma única gota esférica. Determine o raio inicial da gota, o novo potencial elétrico de superfície após a fusão e a variação da energia eletrostática total do sistema.

Passo 1

O enunciado dá uma gota de água aproximadamente esférica com carga e potencial conhecidos e pede três coisas quando duas gotas idênticas, inicialmente muito afastadas, se fundem numa só gota esférica:
  • Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
    • Q=32\\ \mathrm{pC}=32\times10^{-12}\\ \mathrm{C}.
    • V=600\\ \mathrm{V} (potencial da superfície da gota, adotando V=0 no infinito).
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar o raio inicial da gota, R.
    2. Determinar o novo potencial elétrico de superfície da gota formada pela fusão, V'.
    3. Determinar a variação da energia eletrostática total do sistema, \Delta U.

Passo 2

Fórmula do potencial de uma esfera condutora e como usá-la para achar R.
  • Para uma esfera condutora isolada de raio R e carga Q, o potencial na superfície (referido ao infinito) é dado por
V = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{Q}{R}.
Aqui \epsilon_0 é a permissividade do vácuo e \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}=k é a constante eletrostática. Explicação rápida (intuição): o campo fora de uma esfera carregada é igual ao de uma carga pontual Q situada no centro, e integrando o campo do infinito até a superfície obtém-se essa expressão para o potencial. As variáveis significam:
  • V: potencial na superfície (em volts),
  • Q: carga total da esfera (em coulombs),
  • R: raio da esfera (em metros),
  • \epsilon_0: 8{,}8541878128\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Isolando R da fórmula,
R = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{Q}{V}.
Substituindo valores numéricos (uso k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\approx8{,}98755179\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}):
R = \dfrac{8{,}98755179\times10^{9}\cdot(32\times10^{-12})}{600}.
Faço a conta passo a passo:
8{,}98755179\times10^{9}\cdot32\times10^{-12}=8{,}98755179\times32\times10^{-3}=287{,}6016573\times10^{-3}=0{,}2876016573
R=\dfrac{0{,}2876016573}{600}=0{,}000479336095\\ \mathrm{m}\approx4{,}79\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Comentário prático: esse valor é cerca de 0{,}479\\ \mathrm{mm}. Anotei todos os passos para que dê para reproduzir na prova sem calculadora (usar k e cancelar as potências de dez antes de dividir por 600).

Passo 3

Raio da gota resultante da fusão (conservação de volume).
  • Quando duas gotas idênticas se fundem sem perda de massa, o volume final é a soma dos volumes iniciais. O volume de uma esfera é \dfrac{4}{3}\pi R^3. Se a gota inicial tem raio R, a gota final tem raio R' satisfazendo
\dfrac{4}{3}\pi R'^3 = 2\cdot \dfrac{4}{3}\pi R^3 \quad\Rightarrow\quad R' = 2^{1/3} R.
  • Uso o valor de R do passo anterior:
R' = 2^{1/3}\cdot 4{,}79\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Como 2^{1/3}\approx1{,}25992105,
R' \approx 1{,}25992105\cdot 4{,}79\times10^{-4}\\ \mathrm{m}\approx6{,}03\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Novo potencial de superfície V' após a fusão.
  • A carga total se conserva e soma-se: Q_{\text{total}}=2Q.
  • Para a gota final (raio R' e carga 2Q) vale
V'=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{2Q}{R'}.
  • Usando R'=2^{1/3}R e a relação inicial V=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Q}{R}, fazemos uma simplificação útil:
V'=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{2Q}{2^{1/3}R}=2^{2/3}\cdot\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{Q}{R}=2^{2/3}V.
Isto é bonito e rápido na prova: o novo potencial é 2^{2/3} vezes o potencial inicial.
  • Numericamente, 2^{2/3}\approx1{,}58740105, então
V' \approx 1{,}58740105\cdot600\\ \mathrm{V}\approx952{,}4\\ \mathrm{V}\approx9{,}52\times10^{2}\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Variação da energia eletrostática total \Delta U.
  • Energia eletrostática de uma esfera condutora carregada: se uma esfera de carga q e potencial v tem energia armazenada u, vale a relação
u=\dfrac{1}{2}\,q\,v.
Breve justificativa (útil para a prova): imagine construir a carga da esfera carregando incrementalmente dq vindo do infinito; a pequena contribuição de trabalho é v(q)\,dq com v(q)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q}{R}; integrar de 0 a Q u=\dfrac{1}{8\pi\epsilon_0}\dfrac{Q^2}{R}=\dfrac{1}{2}QV.
  • Energia inicial total (duas gotas muito afastadas, sem interação): cada gota tem energia u_{\text{cada}}=\dfrac{1}{2}QV. Como são duas gotas:
U_{\text{inicial}} = 2\cdot \dfrac{1}{2}QV = QV.
  • Energia final da gota unificada (carga 2Q, potencial V'):
U_{\text{final}} = \dfrac{1}{2}\cdot (2Q)\cdot V' = QV'.
  • Assim a variação da energia é
\Delta U = U_{\text{final}}-U_{\text{inicial}} = Q(V'-V).
Usando V'=2^{2/3}V,
\Delta U = QV\bigl(2^{2/3}-1\bigr).
  • Agora o cálculo numérico: QV = (32\times10^{-12})\cdot600 = 1{,}92\times10^{-8}\\ \mathrm{J}.
\Delta U = 1{,}92\times10^{-8}\cdot(2^{2/3}-1)\approx1{,}92\times10^{-8}\cdot0{,}58740105\approx1{,}13\times10^{-8}\\ \mathrm{J}.
  • Interpretação física curta (útil para a prova): \Delta U>0, ou seja, a energia eletrostática aumentou ao fundir as gotas. Isso significa que foi necessário fornecer energia (ou parte da energia de superfície/energia química/forças externas trabalhou) para realizar a fusão contra a repulsão elétrica.

Resposta

R=4{,}79\times10^{-4}\\ \mathrm{m}
V'=9{,}52\times10^{2}\\ \mathrm{V}
\Delta U=1{,}13\times10^{-8}\\ \mathrm{J}

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