Em um experimento de microgotas destinado ao estudo de eletrização atmosférica, uma gota de água aproximadamente esféricas possui carga,
, e potencial elétrico de superfície,
, adotando-se
no infinito. Posteriormente, duas gosta idênticas, inicialmente muito afastadas, se fundem em uma única gota esférica. Determine o raio inicial da gota, o novo potencial elétrico de superfície após a fusão e a variação da energia eletrostática total do sistema.
Passo 1
O enunciado dá uma gota de água aproximadamente esférica com carga e potencial conhecidos e pede três coisas quando duas gotas idênticas, inicialmente muito afastadas, se fundem numa só gota esférica:
- Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
-
. -
(potencial da superfície da gota, adotando no infinito).
-
- O que o enunciado pede:
- Determinar o raio inicial da gota,
. - Determinar o novo potencial elétrico de superfície da gota formada pela fusão,
. - Determinar a variação da energia eletrostática total do sistema,
.
- Determinar o raio inicial da gota,
Passo 2
Fórmula do potencial de uma esfera condutora e como usá-la para achar
.
- Para uma esfera condutora isolada de raio
e carga , o potencial na superfície (referido ao infinito) é dado por
Aqui
é a permissividade do vácuo e
é a constante eletrostática. Explicação rápida (intuição): o campo fora de uma esfera carregada é igual ao de uma carga pontual
situada no centro, e integrando o campo do infinito até a superfície obtém-se essa expressão para o potencial. As variáveis significam:
-
: potencial na superfície (em volts), -
: carga total da esfera (em coulombs), -
: raio da esfera (em metros), -
: .
Isolando
da fórmula,
Substituindo valores numéricos (uso
):
Faço a conta passo a passo:
Comentário prático: esse valor é cerca de
. Anotei todos os passos para que dê para reproduzir na prova sem calculadora (usar
e cancelar as potências de dez antes de dividir por
).
Passo 3
Raio da gota resultante da fusão (conservação de volume).
- Quando duas gotas idênticas se fundem sem perda de massa, o volume final é a soma dos volumes iniciais. O volume de uma esfera é
. Se a gota inicial tem raio , a gota final tem raio satisfazendo
- Uso o valor de
do passo anterior:
Como
,
Passo 4
Novo potencial de superfície
após a fusão.
- A carga total se conserva e soma-se:
. - Para a gota final (raio
e carga ) vale
- Usando
e a relação inicial , fazemos uma simplificação útil:
Isto é bonito e rápido na prova: o novo potencial é
vezes o potencial inicial.
- Numericamente,
, então
Passo 5
Variação da energia eletrostática total
.
- Energia eletrostática de uma esfera condutora carregada: se uma esfera de carga
e potencial tem energia armazenada , vale a relação
Breve justificativa (útil para a prova): imagine construir a carga da esfera carregando incrementalmente
vindo do infinito; a pequena contribuição de trabalho é
com
; integrar de
a
dá
.
- Energia inicial total (duas gotas muito afastadas, sem interação): cada gota tem energia
. Como são duas gotas:
- Energia final da gota unificada (carga
, potencial ):
- Assim a variação da energia é
Usando
,
- Agora o cálculo numérico:
.
- Interpretação física curta (útil para a prova):
, ou seja, a energia eletrostática aumentou ao fundir as gotas. Isso significa que foi necessário fornecer energia (ou parte da energia de superfície/energia química/forças externas trabalhou) para realizar a fusão contra a repulsão elétrica.