Explique o que se entende por erro de arredondamento e erro de truncamento. Dê um exemplo de cada um.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras: (1) explicar o que se entende por erro de arredondamento e (2) explicar o que se entende por erro de truncamento. Além disso, é pedido um exemplo para cada tipo de erro. Não há dados numéricos adicionais no enunciado; a tarefa é conceitual + exemplos numéricos simples.
Passo 2
Antes de definir os dois tipos, vamos fixar duas noções úteis que usamos para medir qualquer erro:
onde
é o valor verdadeiro e
é a aproximação. Explico: o erro absoluto diz “quanto” a aproximação está distante do valor certo em unidades do problema; o erro relativo diz “qual fração” do valor verdadeiro essa diferença representa (útil para comparar erros em grandezas de escalas diferentes).
Passo 3
Definição de erro de arredondamento (explicação didática).
Erro de arredondamento ocorre porque, em computação ou ao escrever números, só conseguimos guardar um número com um número finito de dígitos. Quando forçamos um número infinito ou com mais dígitos a caber nessa representação finita, fazemos um arredondamento e aparece um pequeno erro. Esse erro é causado pela representação finita dos números (por exemplo, ponto flutuante) ou por arredondar manualmente cifras decimais.
Erro de arredondamento ocorre porque, em computação ou ao escrever números, só conseguimos guardar um número com um número finito de dígitos. Quando forçamos um número infinito ou com mais dígitos a caber nessa representação finita, fazemos um arredondamento e aparece um pequeno erro. Esse erro é causado pela representação finita dos números (por exemplo, ponto flutuante) ou por arredondar manualmente cifras decimais.
Exemplo simples e calculemos o erro:
Tome (o valor verdadeiro) e aproxime por
(arredondamento a duas casas decimais).
Tome
Comentário prático: esse erro vem só de cortar/ajustar dígitos; é intrínseco à representação finita. Em computadores existe um número máximo de dígitos significativos (precisão) e cada operação pode introduzir erros de arredondamento.
Passo 4
Outra forma comum de erro de arredondamento (pouco mais técnica, explicativa): em binário alguns decimais simples não têm representação exata (por exemplo,
em base 10 não é representável exatamente em binário finito), então a máquina guarda a aproximação binária mais próxima — isso causa pequenos erros acumulados em somas/multiplicações sucessivas.
Passo 5
Definição de erro de truncamento (explicação didática).
Erro de truncamento aparece quando substituímos um processo matemático infinito por um processo finito. Ou seja, existe uma expressão exata que envolve uma soma infinita, uma série, ou um limite; ao “truncarmos” essa soma (parar depois de alguns termos) ou ao aproximarmos um limite por um passo finito, perdemos parte da informação e aparece o erro de truncamento. É um erro por ter interrompido um procedimento ideal (infinito) em um ponto finito.
Erro de truncamento aparece quando substituímos um processo matemático infinito por um processo finito. Ou seja, existe uma expressão exata que envolve uma soma infinita, uma série, ou um limite; ao “truncarmos” essa soma (parar depois de alguns termos) ou ao aproximarmos um limite por um passo finito, perdemos parte da informação e aparece o erro de truncamento. É um erro por ter interrompido um procedimento ideal (infinito) em um ponto finito.
Passo 6
Exemplo clássico com série (e explicação passo a passo):
A série de Taylor de em
é
A série de Taylor de
Se eu truncar essa soma e ficar só com os três primeiros termos, minha aproximação é
O valor verdadeiro é
. Então
Esse erro é truncamento: resultou de parar a série depois de três termos. Se acrescentarmos mais termos (isto é, aumentarmos o
da truncatura), o erro de truncamento tende a zero.
Observação sobre estimativa do erro: para
existe um resto de Lagrange que dá uma cota do truncamento. Para
e truncando até
, uma cota simples é
ou seja, sabemos que o erro real está abaixo dessa cota. (Não é preciso decorar a fórmula agora; a ideia é: há formas de estimar o truncamento.)
Passo 7
Comparação prática e dicas (como reconhecer e mitigar):
- Origem: arredondamento vem da representação finita dos números; truncamento vem de interromper um processo infinito (série, integral aproximada, método numérico, diferença finita).
- Comportamento: truncamento geralmente diminui se você usar mais termos ou passo menor; arredondamento não melhora necessariamente com mais termos — se você aumentar operações pode até acumular mais erros de arredondamento. Há um trade-off: por exemplo, em aproximação de derivada com diferenças finitas, diminuir o passo
reduz o erro de truncamento, mas pode amplificar erros de arredondamento por subtração de números muito próximos (cancelamento). - Mitigação: para arredondamento, usar maior precisão (mais dígitos significativos) ou algoritmos numéricos estáveis; para truncamento, aumentar ordem do método (mais termos) ou refinar passo, e estimar o resto para saber quantos termos são necessários.
Resposta
Erro de arredondamento: erro que surge por representar um número com número finito de dígitos (ou por operações em ponto flutuante). Exemplo: aproximar
por
dá erro absoluto
.
Erro de truncamento: erro que surge por interromper um processo matemático infinito (serie, limite, integral) e usar uma versão finita. Exemplo: truncar a série de
em três termos e usar
produz erro absoluto
.