5- Expressar no sistema “l” as velocidades depois do choque de duas partículas, uma das quais,
, estava em movimento, e a outra,
, em repouso, em função do ângulo segundo o qual as partículas consideradas se afastam uma da outra.
Passo 1
O enunciado dá um choque entre duas partículas e pede para expressar, no sistema de referência lab (chamado de sistema “l”), as velocidades depois do choque em função do ângulo segundo o qual as partículas se afastam uma da outra.
Informações dadas:
- Massa da primeira partícula:
. - Massa da segunda partícula:
. - Antes do choque: a partícula de massa
movia-se com velocidade (módulo) e a partícula de massa estava em repouso. - O choque é tal que as duas partículas se afastam após o choque formando um ângulo entre suas direções (denotarei esse ângulo por
; é o ângulo entre os vetores velocidade finais das duas partículas).
O que se pede:
- Encontrar as velocidades (módulos) depois do choque,
(para ) e (para ), expressas no sistema lab, em função de , , e do ângulo de separação entre as trajetórias após o choque.
Observação: vou assumir que o choque é elástico (energia cinética é conservada) e que todo o movimento relevante ocorre num mesmo plano (situação padrão para colisões com uma partícula inicialmente em repouso).
Passo 2
Definições claras das variáveis (para não nos perder):
- Velocidade inicial de
: (escolhi o eixo na direção do movimento inicial). - Velocidade inicial de
: . - Velocidade final de
: vetor com módulo e direção formando ângulo com o eixo . - Velocidade final de
: vetor com módulo e direção formando ângulo com o eixo . - Ângulo de separação entre as duas velocidades finais:
. (É o ângulo entre os vetores e .)
Princípios físicos que serão usados (explicados de forma simples):
- Conservação do momento linear (vetorial): a soma dos momentos antes do choque é igual à soma depois do choque. Em fórmulas vetoriais:
Aqui
, então
.
- Conservação da energia cinética (choque elástico): a energia cinética total antes = depois:
ou, multiplicando por 2,
Explicação rápida: momento é um vetor (tem direção) e energia cinética é escalar (soma de módulos ao quadrado), ambas são conservadas em colisão elástica isolada.
Passo 3
Escrever a conservação do momento nas componentes e também em forma vetorial útil:
Vetorialmente temos
Uma forma muito prática é tomar o quadrado (módulo ao quadrado) dos dois lados dessa igualdade vetorial. Lembrando que, para dois vetores
e
,
onde
é o ângulo entre
e
. Aplicando isso a
obtém-se (módulos ao quadrado):
pois
é o ângulo entre
e
.
Ao mesmo tempo, a conservação de energia dá
Para juntar as duas equações é conveniente multiplicar a equação de energia por
:
Agora igualamos as duas expressões para
e subtraímos: a expressão proveniente do quadrado do momento menos a expressão vinda da energia multiplicada por
. Isso elimina os termos com
e deixa uma relação entre
,
e
.
Passo 4
Fazer a álgebra explícita da subtração (passo-a-passo):
Da forma vetorial ao quadrado obtivemos:
Da energia vezes
obtivemos:
Subtraindo a segunda da primeira (lado a lado) cancela
e
, sobrando:
Fatorando
em comum no primeiro parêntese:
Se
pode-se dividir por
e obter:
Rearranjando temos a relação simples e importante:
Esta é uma relação direta entre os módulos
e
usando o ângulo
.
Comentário intuitivo: essa relação surgiu ao combinar momento vetorial e energia. Ela mostra como a componente paralela (via
) das velocidades finais está ligada às massas.
Passo 5
Usar a relação encontrada para eliminar
na equação de conservação de energia e achar
em função de
,
,
e
.
Da relação do Passo 4:
Substituir isso na equação de energia (forma original):
Substituindo
:
Simplificar o primeiro termo (o
cancela parte):
Colocar os termos do lado direito sobre um denominador comum ou agrupar em fator comum
:
Multiplicando ambos os lados por
para liberar denominadores:
Logo,
Tomando raiz quadrada (velocidades são módulos não-negativos):
Observação sobre sinal: escrevi
para enfatizar que
é um módulo. Em muitos contextos físicos
será positivo (as partículas normalmente se afastam em direções que tornam
), e pode-se então omitir o valor absoluto. Vou apresentar a forma usual com
assumindo
; se necessário, usar o valor absoluto para garantir módulo positivo.
Passo 6
Agora obtemos
substituindo
na relação do Passo 4 para simplificar: já que
substituindo
obtém-se (observe cancelamentos):
Assim
também fica expresso em termos dos dados do problema.
Passo 7
Interpretação e comentários finais simples (pra te deixar mais confiante):
- As fórmulas obtidas são módulos (magnitude) das velocidades finais no sistema laboratorial.
- São simétricas na estrutura do denominador; o denominador comum
aparece em ambas. - Se
então pela fórmula (o primeiro pára, o segundo leva a maior parte da energia, como em uma tacada de bilhar ideal — nota: o fator com também determina a direção). - Se
(as velocidades finais são perpendiculares), as fórmulas reduzem-se a formas mais simples substituindo .