5- Expressar no sistema “l” as velocidades depois do choque de duas partículas, uma das quais, \mathrm{m}_{1}, estava em movimento, e a outra, \mathrm{m}_{2}, em repouso, em função do ângulo segundo o qual as partículas consideradas se afastam uma da outra.

Passo 1

O enunciado dá um choque entre duas partículas e pede para expressar, no sistema de referência lab (chamado de sistema “l”), as velocidades depois do choque em função do ângulo segundo o qual as partículas se afastam uma da outra.
Informações dadas:
  • Massa da primeira partícula: m_1.
  • Massa da segunda partícula: m_2.
  • Antes do choque: a partícula de massa m_1 movia-se com velocidade (módulo) u e a partícula de massa m_2 estava em repouso.
  • O choque é tal que as duas partículas se afastam após o choque formando um ângulo entre suas direções (denotarei esse ângulo por \varphi; é o ângulo entre os vetores velocidade finais das duas partículas).
O que se pede:
  • Encontrar as velocidades (módulos) depois do choque, v_1 (para m_1) e v_2 (para m_2), expressas no sistema lab, em função de m_1, m_2, u e do ângulo \varphi de separação entre as trajetórias após o choque.
Observação: vou assumir que o choque é elástico (energia cinética é conservada) e que todo o movimento relevante ocorre num mesmo plano (situação padrão para colisões com uma partícula inicialmente em repouso).

Passo 2

Definições claras das variáveis (para não nos perder):
  • Velocidade inicial de m_1: \mathbf{u}_1 = u\,\hat{\mathbf{x}} (escolhi o eixo x na direção do movimento inicial).
  • Velocidade inicial de m_2: \mathbf{u}_2 = \mathbf{0}.
  • Velocidade final de m_1: vetor \mathbf{v}_1 com módulo v_1 e direção formando ângulo \theta_1 com o eixo x.
  • Velocidade final de m_2: vetor \mathbf{v}_2 com módulo v_2 e direção formando ângulo \theta_2 com o eixo x.
  • Ângulo de separação entre as duas velocidades finais: \varphi = \theta_2 - \theta_1. (É o ângulo entre os vetores \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2.)
Princípios físicos que serão usados (explicados de forma simples):
  • Conservação do momento linear (vetorial): a soma dos momentos antes do choque é igual à soma depois do choque. Em fórmulas vetoriais:
m_1 \mathbf{u}_1 + m_2 \mathbf{u}_2 = m_1 \mathbf{v}_1 + m_2 \mathbf{v}_2.
Aqui \mathbf{u}_2=\mathbf{0}, então m_1 \mathbf{u}_1 = m_1 \mathbf{v}_1 + m_2 \mathbf{v}_2.
  • Conservação da energia cinética (choque elástico): a energia cinética total antes = depois:
\frac12 m_1 u^2 + \frac12 m_2\cdot 0 = \frac12 m_1 v_1^2 + \frac12 m_2 v_2^2,
ou, multiplicando por 2,
m_1 u^2 = m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2.
Explicação rápida: momento é um vetor (tem direção) e energia cinética é escalar (soma de módulos ao quadrado), ambas são conservadas em colisão elástica isolada.

Passo 3

Escrever a conservação do momento nas componentes e também em forma vetorial útil:
Vetorialmente temos
m_1 u\,\hat{\mathbf{x}} = m_1 \mathbf{v}_1 + m_2 \mathbf{v}_2.
Uma forma muito prática é tomar o quadrado (módulo ao quadrado) dos dois lados dessa igualdade vetorial. Lembrando que, para dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b},
|\mathbf{a}+\mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + 2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}. Aplicando isso a
m_1 u\,\hat{\mathbf{x}} = m_1 \mathbf{v}_1 + m_2 \mathbf{v}_2,
obtém-se (módulos ao quadrado):
m_1^2 u^2 = |m_1 \mathbf{v}_1 + m_2 \mathbf{v}_2|^2 = m_1^2 v_1^2 + m_2^2 v_2^2 + 2 m_1 m_2 v_1 v_2 \cos\varphi,
pois \varphi é o ângulo entre \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2.
Ao mesmo tempo, a conservação de energia dá
m_1 u^2 = m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2.
Para juntar as duas equações é conveniente multiplicar a equação de energia por m_1:
m_1^2 u^2 = m_1^2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2.
Agora igualamos as duas expressões para m_1^2 u^2 e subtraímos: a expressão proveniente do quadrado do momento menos a expressão vinda da energia multiplicada por m_1. Isso elimina os termos com m_1^2 v_1^2 e deixa uma relação entre v_1, v_2 e \cos\varphi.

Passo 4

Fazer a álgebra explícita da subtração (passo-a-passo):
Da forma vetorial ao quadrado obtivemos:
m_1^2 u^2 = m_1^2 v_1^2 + m_2^2 v_2^2 + 2 m_1 m_2 v_1 v_2 \cos\varphi.
Da energia vezes m_1 obtivemos:
m_1^2 u^2 = m_1^2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2.
Subtraindo a segunda da primeira (lado a lado) cancela m_1^2 v_1^2 e m_1^2 u^2, sobrando:
0 = \bigl(m_2^2 v_2^2 - m_1 m_2 v_2^2\bigr) + 2 m_1 m_2 v_1 v_2 \cos\varphi.
Fatorando m_2 em comum no primeiro parêntese:
0 = m_2(m_2 - m_1) v_2^2 + 2 m_1 m_2 v_1 v_2 \cos\varphi.
Se v_2\neq 0 pode-se dividir por m_2 v_2 e obter:
0 = (m_2 - m_1) v_2 + 2 m_1 v_1 \cos\varphi.
Rearranjando temos a relação simples e importante:
2 m_1 v_1 \cos\varphi = (m_1 - m_2)\, v_2.
Esta é uma relação direta entre os módulos v_1 e v_2 usando o ângulo \varphi.
Comentário intuitivo: essa relação surgiu ao combinar momento vetorial e energia. Ela mostra como a componente paralela (via \cos\varphi) das velocidades finais está ligada às massas.

Passo 5

Usar a relação encontrada para eliminar v_1 na equação de conservação de energia e achar v_2 em função de u, m_1, m_2 e \varphi.
Da relação do Passo 4:
v_1 = \frac{(m_1 - m_2)\, v_2}{2 m_1 \cos\varphi}.
Substituir isso na equação de energia (forma original):
m_1 u^2 = m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2.
Substituindo v_1:
m_1 u^2 = m_1\left(\frac{(m_1 - m_2)^2 v_2^2}{4 m_1^2 \cos^2\varphi}\right) + m_2 v_2^2.
Simplificar o primeiro termo (o m_1 cancela parte):
m_1 u^2 = \frac{(m_1 - m_2)^2 v_2^2}{4 m_1 \cos^2\varphi} + m_2 v_2^2.
Colocar os termos do lado direito sobre um denominador comum ou agrupar em fator comum v_2^2:
m_1 u^2 = v_2^2\left(\frac{(m_1 - m_2)^2}{4 m_1 \cos^2\varphi} + m_2\right).
Multiplicando ambos os lados por 4 m_1 \cos^2\varphi para liberar denominadores:
4 m_1^2 u^2 \cos^2\varphi = v_2^2\bigl((m_1 - m_2)^2 + 4 m_1 m_2 \cos^2\varphi\bigr).
Logo,
v_2^2 = \frac{4 m_1^2 u^2 \cos^2\varphi}{(m_1 - m_2)^2 + 4 m_1 m_2 \cos^2\varphi}.
Tomando raiz quadrada (velocidades são módulos não-negativos):
v_2 = \frac{2 m_1 u \,\lvert\cos\varphi\rvert}{\sqrt{(m_1 - m_2)^2 + 4 m_1 m_2 \cos^2\varphi}}.
Observação sobre sinal: escrevi \lvert\cos\varphi\rvert para enfatizar que v_2 é um módulo. Em muitos contextos físicos \cos\varphi será positivo (as partículas normalmente se afastam em direções que tornam \cos\varphi>0), e pode-se então omitir o valor absoluto. Vou apresentar a forma usual com \cos\varphi assumindo \cos\varphi\ge 0; se necessário, usar o valor absoluto para garantir módulo positivo.

Passo 6

Agora obtemos v_1 substituindo v_2 na relação do Passo 4 para simplificar: já que
v_1 = \frac{(m_1 - m_2)\, v_2}{2 m_1 \cos\varphi},
substituindo v_2 obtém-se (observe cancelamentos):
v_1 = \frac{(m_1 - m_2)}{2 m_1 \cos\varphi}\cdot \frac{2 m_1 u \cos\varphi}{\sqrt{(m_1 - m_2)^2 + 4 m_1 m_2 \cos^2\varphi}} = \frac{(m_1 - m_2)\, u}{\sqrt{(m_1 - m_2)^2 + 4 m_1 m_2 \cos^2\varphi}}.
Assim v_1 também fica expresso em termos dos dados do problema.

Passo 7

Interpretação e comentários finais simples (pra te deixar mais confiante):
  • As fórmulas obtidas são módulos (magnitude) das velocidades finais no sistema laboratorial.
  • São simétricas na estrutura do denominador; o denominador comum \sqrt{(m_1 - m_2)^2 + 4 m_1 m_2 \cos^2\varphi} aparece em ambas.
  • Se m_1 = m_2 então v_1=0 pela fórmula (o primeiro pára, o segundo leva a maior parte da energia, como em uma tacada de bilhar ideal — nota: o fator com \cos\varphi também determina a direção).
  • Se \varphi=\tfrac{\pi}{2} (as velocidades finais são perpendiculares), as fórmulas reduzem-se a formas mais simples substituindo \cos\varphi=0.

Resposta

v_1=\dfrac{(m_1-m_2)\,u}{\sqrt{(m_1-m_2)^2+4m_1m_2\cos^2\varphi}}
v_2=\dfrac{2m_1\,u\cos\varphi}{\sqrt{(m_1-m_2)^2+4m_1m_2\cos^2\varphi}}

Exercícios relacionados