(a) Expresse o campo \mathbf{D}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-1}\left(x \mathbf{a}_{x}+y \mathbf{a}_{y}\right) em componentes e variáveis cilíndricas.
(b) Calcule D no ponto onde \rho=4, \varphi=0,2 \pi e z=5, expressando o resultado em componentes
cilíndricos
e
cartesianos.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Expressar o campo \mathbf{D}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-1}\left(x \mathbf{a}_{x}+y \mathbf{a}_{y}\right) em componentes e também em variáveis cilíndricas.
(b) Calcular \mathbf{D} no ponto em que \rho=4,\\ \varphi=0,2\pi e z=5, e apresentar o resultado em componentes cilíndricos e cartesianas.
O ponto pedido é dado em coordenadas cilíndricas por \rho=4,\\ \varphi=0{,}2\pi,\\ z=5.
Passo 2
Vamos primeiro escrever as componentes cartesianas (forma componente a componente) do campo, sem mudar de sistema de coordenadas. Se um campo vetorial é
Explicação curta: cada componente é obtida projetando o vetor no eixo correspondente; aqui o numerador dá a projeção e o denominador faz a divisão escalar indicadora do fator (x^2+y^2)^{-1}.
Passo 3
Agora vamos escrever o campo em variáveis cilíndricas. Recorde as relações entre coordenadas cartesianas e cilíndricas:
Comentário didático: essa forma é muito mais simples — o campo aponta radialmente para fora (versor \mathbf{a}_\rho) com intensidade que decai como 1/\rho.
Passo 5
Resumindo a resposta para (a): temos a forma em componentes cartesianas (já encontrada) e a forma em variáveis cilíndricas.
Forma cartesiana (componentes):
Portanto a componente cilíndrica é simplesmente \dfrac{1}{4} na direção \mathbf{a}_\rho.
Passo 7
Para obter as componentes cartesianas no mesmo ponto, usamos \mathbf{a}_\rho=\cos\varphi\,\mathbf{a}_x+\sin\varphi\,\mathbf{a}_y. Com \varphi=0{,}2\pi=\pi/5 temos
Como verificação rápida (opcional): usando x=\rho\cos\varphi=4\cos(\pi/5)=1+\sqrt{5} e y=\rho\sin\varphi=4\sin(\pi/5)=\sqrt{10-2\sqrt{5}}, o campo cartesiano original \left(x^2+y^2\right)^{-1}(x\mathbf{a}_x+y\mathbf{a}_y) dá