(a) Expresse o campo \mathbf{D}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-1}\left(x \mathbf{a}_{x}+y \mathbf{a}_{y}\right) em componentes e variáveis cilíndricas.
(b) Calcule D no ponto onde \rho=4, \varphi=0,2 \pi e z=5, expressando o resultado em componentes
cilíndricos
e
cartesianos.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Expressar o campo \mathbf{D}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-1}\left(x \mathbf{a}_{x}+y \mathbf{a}_{y}\right) em componentes e também em variáveis cilíndricas.
  • (b) Calcular \mathbf{D} no ponto em que \rho=4,\\ \varphi=0,2\pi e z=5, e apresentar o resultado em componentes cilíndricos e cartesianas.
Informações dadas que vamos usar:
\mathbf{D}=\frac{x\mathbf{a}_x+y\mathbf{a}_y}{x^2+y^2}.
O ponto pedido é dado em coordenadas cilíndricas por \rho=4,\\ \varphi=0{,}2\pi,\\ z=5.

Passo 2

Vamos primeiro escrever as componentes cartesianas (forma componente a componente) do campo, sem mudar de sistema de coordenadas. Se um campo vetorial é
\mathbf{D}=\frac{x\mathbf{a}_x+y\mathbf{a}_y}{x^2+y^2},
então, componente a componente, temos
D_x=\frac{x}{x^2+y^2},\qquad D_y=\frac{y}{x^2+y^2},\qquad D_z=0.
Explicação curta: cada componente é obtida projetando o vetor no eixo correspondente; aqui o numerador dá a projeção e o denominador faz a divisão escalar indicadora do fator (x^2+y^2)^{-1}.

Passo 3

Agora vamos escrever o campo em variáveis cilíndricas. Recorde as relações entre coordenadas cartesianas e cilíndricas:
x=\rho\cos\varphi,\qquad y=\rho\sin\varphi,\qquad z=z.
E a relação entre os versores:
\mathbf{a}_\rho=\cos\varphi\,\mathbf{a}_x+\sin\varphi\,\mathbf{a}_y, \qquad \mathbf{a}_\varphi=-\sin\varphi\,\mathbf{a}_x+\cos\varphi\,\mathbf{a}_y.

Passo 4

Substituímos x e y por \rho\cos\varphi e \rho\sin\varphi dentro do numerador x\mathbf{a}_x+y\mathbf{a}_y:
x\mathbf{a}_x+y\mathbf{a}_y =\rho\cos\varphi\,\mathbf{a}_x+\rho\sin\varphi\,\mathbf{a}_y =\rho(\cos\varphi\,\mathbf{a}_x+\sin\varphi\,\mathbf{a}_y) =\rho\,\mathbf{a}_\rho.
O denominador x^2+y^2 vira \rho^2. Portanto
\mathbf{D}=\frac{\rho\,\mathbf{a}_\rho}{\rho^2}=\frac{1}{\rho}\,\mathbf{a}_\rho, \qquad (\rho\neq 0).
Comentário didático: essa forma é muito mais simples — o campo aponta radialmente para fora (versor \mathbf{a}_\rho) com intensidade que decai como 1/\rho.

Passo 5

Resumindo a resposta para (a): temos a forma em componentes cartesianas (já encontrada) e a forma em variáveis cilíndricas.
Forma cartesiana (componentes):
D_x=\frac{x}{x^2+y^2},\qquad D_y=\frac{y}{x^2+y^2},\qquad D_z=0.
Forma em coordenadas cilíndricas:
\mathbf{D}=\frac{1}{\rho}\,\mathbf{a}_\rho.

Passo 6

Agora (b): calcular \mathbf{D} no ponto \rho=4,\\ \varphi=0{,}2\pi,\\ z=5.
Usando a forma cilíndrica já obtida,
\mathbf{D}(\rho,\varphi,z)=\frac{1}{\rho}\,\mathbf{a}_\rho \implies \mathbf{D}\big|_{\rho=4}=\frac{1}{4}\,\mathbf{a}_\rho.
Portanto a componente cilíndrica é simplesmente \dfrac{1}{4} na direção \mathbf{a}_\rho.

Passo 7

Para obter as componentes cartesianas no mesmo ponto, usamos \mathbf{a}_\rho=\cos\varphi\,\mathbf{a}_x+\sin\varphi\,\mathbf{a}_y. Com \varphi=0{,}2\pi=\pi/5 temos
\mathbf{D}=\frac{1}{4}\mathbf{a}_\rho=\frac{1}{4}\big(\cos\varphi\,\mathbf{a}_x+\sin\varphi\,\mathbf{a}_y\big) =\frac{\cos\varphi}{4}\,\mathbf{a}_x+\frac{\sin\varphi}{4}\,\mathbf{a}_y.
Agora usamos as identidades exatas para \varphi=\pi/5:
\cos\!\left(\frac{\pi}{5}\right)=\frac{1+\sqrt{5}}{4},\qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}.
Substituindo e dividindo por 4
D_x=\frac{1}{4}\cos\!\left(\frac{\pi}{5}\right)=\frac{1+\sqrt{5}}{16}, \qquad D_y=\frac{1}{4}\sin\!\left(\frac{\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{16}, \qquad D_z=0.

Passo 8

Como verificação rápida (opcional): usando x=\rho\cos\varphi=4\cos(\pi/5)=1+\sqrt{5} e y=\rho\sin\varphi=4\sin(\pi/5)=\sqrt{10-2\sqrt{5}}, o campo cartesiano original \left(x^2+y^2\right)^{-1}(x\mathbf{a}_x+y\mathbf{a}_y)
D_x=\frac{x}{x^2+y^2}=\frac{1+\sqrt{5}}{16},\qquad D_y=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{16},
pois x^2+y^2=\rho^2=16. Isso coincide com o resultado anterior.

Resposta

(a) D_x=\dfrac{x}{x^2+y^2},\quad D_y=\dfrac{y}{x^2+y^2},\quad D_z=0.\n(a) \mathbf{D}=\dfrac{1}{\rho}\,\mathbf{a}_\rho.\n(b) \mathbf{D}=\dfrac{1}{4}\,\mathbf{a}_\rho.\n(b) \mathbf{D}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{16}\,\mathbf{a}_x+\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{16}\,\mathbf{a}_y+0\,\mathbf{a}_z.

Exercícios relacionados