Expresse o campo vetorial uniforme \mathbf{F}=25 \mathbf{a}_{\mathbf{x}} em componentes cilíndricos;

Passo 1

O enunciado pede para expressar o campo vetorial uniforme \mathbf{F}=25\,\mathbf{a}_x em componentes cilíndricas.
Informações dadas e objetivo claros:
  • Campo dado: \mathbf{F}=25\,\mathbf{a}_x, constante (uniforme).
  • Deseja-se a expressão de \mathbf{F} usando as componentes e vetores unitários cilíndricos \mathbf{a}_r,\mathbf{a}_\theta,\mathbf{a}_z.
  • As coordenadas cilíndricas envolvem a variável angular \theta que mede o ângulo entre o eixo x e o raio projetado no plano xy.

Passo 2

Vamos entender a relação entre os versores cilíndricos e os cartesianos — isso é fundamental e é só geometria de rotação no plano xy. Definições (essas fórmulas vêm da projeção do versor radial e do versor tangencial sobre os eixos x e y):
\mathbf{a}_r=\cos\theta\,\mathbf{a}_x+\sin\theta\,\mathbf{a}_y,
\mathbf{a}_\theta=-\sin\theta\,\mathbf{a}_x+\cos\theta\,\mathbf{a}_y,
\mathbf{a}_z=\mathbf{a}_z.
Explicação intuitiva: \mathbf{a}_r aponta radialmente (direção que forma ângulo \theta com o eixo x), então sua projeção no eixo x é \cos\theta e no eixo y é \sin\theta. O versor \mathbf{a}_\theta é o resultado de girar \mathbf{a}_r em 90^\circ no sentido antihorário, o que dá as componentes acima.

Passo 3

Agora precisamos da relação inversa para escrever \mathbf{a}_x em função de \mathbf{a}_r e \mathbf{a}_\theta. Podemos inverter a rotação (é uma matriz de rotação 2D), ou manipular as duas equações acima. Multiplicando adequadamente e somando, obtemos:
a partir de
\mathbf{a}_r=\cos\theta\,\mathbf{a}_x+\sin\theta\,\mathbf{a}_y
e
\mathbf{a}_\theta=-\sin\theta\,\mathbf{a}_x+\cos\theta\,\mathbf{a}_y,
resolvendo para \mathbf{a}_x (pense nisso como inverter a matriz de rotação), encontramos
\mathbf{a}_x=\cos\theta\,\mathbf{a}_r-\sin\theta\,\mathbf{a}_\theta.
Breve justificativa: a matriz que transforma (\mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y) em (\mathbf{a}_r,\mathbf{a}_\theta) é ortogonal; a inversa é a transposta, que corresponde a substituir \theta por -\theta, levando à fórmula acima.

Passo 4

Substituímos agora \mathbf{a}_x na expressão do campo dado \mathbf{F}=25\,\mathbf{a}_x. Usando \mathbf{a}_x=\cos\theta\,\mathbf{a}_r-\sin\theta\,\mathbf{a}_\theta, temos
\mathbf{F}=25\big(\cos\theta\,\mathbf{a}_r-\sin\theta\,\mathbf{a}_\theta\big).
Distribuindo o escalar:
\mathbf{F}=25\cos\theta\,\mathbf{a}_r-25\sin\theta\,\mathbf{a}_\theta.

Passo 5

Interpretação e componentes explícitas — isso te ajuda a usar o resultado na prova: as componentes cilíndricas (funções de \theta) são
F_r=25\cos\theta,\qquad F_\theta=-25\sin\theta,\qquad F_z=0.
Observações úteis para checar no papel: para \theta=0 (eixo x positivo) obtemos F=25\,\mathbf{a}_r, o que bate com \mathbf{a}_r=\mathbf{a}_x nesse ângulo. Para \theta=\tfrac{\pi}{2} (eixo y positivo) obtemos F=-25\,\mathbf{a}_\theta, que também é coerente: no ponto (0,1,0) um campo em +\mathbf{a}_x tem componente tangencial negativa.

Resposta

\displaystyle \mathbf{F}=25\cos\theta\,\mathbf{a}_r-25\sin\theta\,\mathbf{a}_\theta
\displaystyle F_r=25\cos\theta,\quad F_\theta=-25\sin\theta,\quad F_z=0

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