Expresse o campo vetorial uniforme
em componentes cilíndricos;
Passo 1
O enunciado pede para expressar o campo vetorial uniforme
em componentes cilíndricas.
Informações dadas e objetivo claros:
Informações dadas e objetivo claros:
- Campo dado:
, constante (uniforme). - Deseja-se a expressão de
usando as componentes e vetores unitários cilíndricos . - As coordenadas cilíndricas envolvem a variável angular
que mede o ângulo entre o eixo e o raio projetado no plano .
Passo 2
Vamos entender a relação entre os versores cilíndricos e os cartesianos — isso é fundamental e é só geometria de rotação no plano
. Definições (essas fórmulas vêm da projeção do versor radial e do versor tangencial sobre os eixos
e
):
Explicação intuitiva:
aponta radialmente (direção que forma ângulo
com o eixo
), então sua projeção no eixo
é
e no eixo
é
. O versor
é o resultado de girar
em
no sentido antihorário, o que dá as componentes acima.
Passo 3
Agora precisamos da relação inversa para escrever
em função de
e
. Podemos inverter a rotação (é uma matriz de rotação 2D), ou manipular as duas equações acima. Multiplicando adequadamente e somando, obtemos:
a partir de
a partir de
e
resolvendo para
(pense nisso como inverter a matriz de rotação), encontramos
Breve justificativa: a matriz que transforma
em
é ortogonal; a inversa é a transposta, que corresponde a substituir
por
, levando à fórmula acima.
Passo 4
Substituímos agora
na expressão do campo dado
. Usando
, temos
Distribuindo o escalar:
Passo 5
Interpretação e componentes explícitas — isso te ajuda a usar o resultado na prova: as componentes cilíndricas (funções de
) são
Observações úteis para checar no papel: para
(eixo
positivo) obtemos
, o que bate com
nesse ângulo. Para
(eixo
positivo) obtemos
, que também é coerente: no ponto
um campo em
tem componente tangencial negativa.