Expresse o campo vetorial uniforme \mathbf{F}=25 \mathbf{a}_{\mathbf{x}} em componentes esféricos.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial uniforme \mathbf{F}=25\,\mathbf{a}_{\mathbf{x}} e pede para expressá‑lo em componentes esféricas.
Informações relevantes fornecidas:
  • O vetor é 25 vezes o versor cartesiano \mathbf{a}_{\mathbf{x}}.
  • Precisamos dar as componentes desse mesmo vetor na base esférica \{\mathbf{a}_{r},\mathbf{a}_{\theta},\mathbf{a}_{\varphi}\}.

Passo 2

Precisamos usar a relação entre os versores cartesianos e esféricos. Vou adotar a convenção padrão (física/engenharia):
  • \,r é a distância radial ao origem,
  • \theta é o ângulo polar medido a partir do eixo +z (ou seja, \theta=0 em +z),
  • \varphi é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo +x em direção a +y.
As expressões dos versores esféricos em termos dos cartesianos são (cada fórmula está isolada em bloco):
\mathbf{a}_{r}=\sin\theta\cos\varphi\,\mathbf{a}_{x}+\sin\theta\sin\varphi\,\mathbf{a}_{y}+\cos\theta\,\mathbf{a}_{z}
\mathbf{a}_{\theta}=\cos\theta\cos\varphi\,\mathbf{a}_{x}+\cos\theta\sin\varphi\,\mathbf{a}_{y}-\sin\theta\,\mathbf{a}_{z}
\mathbf{a}_{\varphi}=-\sin\varphi\,\mathbf{a}_{x}+\cos\varphi\,\mathbf{a}_{y}
Essas relações significam que qualquer vetor pode ser expresso tanto na base \{\mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z\} quanto na base \{\mathbf{a}_r,\mathbf{a}_\theta,\mathbf{a}_\varphi\}, e para obter componentes na base esférica basta projetar o vetor nesses versores.

Passo 3

Método para achar as componentes esféricas: como \{\mathbf{a}_{r},\mathbf{a}_{\theta},\mathbf{a}_{\varphi}\} é uma base ortonormal, a componente de \mathbf{F} na direção \mathbf{a}_{r} é \mathbf{F}\cdot\mathbf{a}_{r}, e analogamente para \mathbf{a}_{\theta} e \mathbf{a}_{\varphi}.
Vamos calcular primeiro os produtos escalares entre \mathbf{a}_{x} e os versores esféricos (usando as expressões do Passo 2). Como \mathbf{a}_{x}\cdot\mathbf{a}_{x}=1 e \mathbf{a}_{x}\cdot\mathbf{a}_{y}=0 etc., temos:
\mathbf{a}_{x}\cdot\mathbf{a}_{r}=\sin\theta\cos\varphi
\mathbf{a}_{x}\cdot\mathbf{a}_{\theta}=\cos\theta\cos\varphi
\mathbf{a}_{x}\cdot\mathbf{a}_{\varphi}=-\sin\varphi
Aqui eu apenas peguei o coeficiente de \mathbf{a}_{x} nas expressões de \mathbf{a}_{r},\mathbf{a}_{\theta},\mathbf{a}_{\varphi} (por exemplo, \mathbf{a}_{r} tem coeficiente \sin\theta\cos\varphi na direção \mathbf{a}_{x}, logo o produto escalar com \mathbf{a}_{x} dá esse valor).

Passo 4

Agora obtenho as componentes do campo \mathbf{F}=25\,\mathbf{a}_{x} projetando em cada versor esférico:
F_{r}=\mathbf{F}\cdot\mathbf{a}_{r}=25\,(\mathbf{a}_{x}\cdot\mathbf{a}_{r})=25\,\sin\theta\cos\varphi
F_{\theta}=\mathbf{F}\cdot\mathbf{a}_{\theta}=25\,(\mathbf{a}_{x}\cdot\mathbf{a}_{\theta})=25\,\cos\theta\cos\varphi
F_{\varphi}=\mathbf{F}\cdot\mathbf{a}_{\varphi}=25\,(\mathbf{a}_{x}\cdot\mathbf{a}_{\varphi})=25\,(-\sin\varphi)=-25\,\sin\varphi
Expliquei o porquê de cada termo: multiplicamos 25 pelo respectivo coeficiente que aparece quando escrevemos o versor esférico em função de \mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z.

Passo 5

Escrevendo o vetor na base esférica:
\mathbf{F}=F_{r}\,\mathbf{a}_{r}+F_{\theta}\,\mathbf{a}_{\theta}+F_{\varphi}\,\mathbf{a}_{\varphi}
com os F que acabamos de calcular. Substituindo:
\mathbf{F}=25\,\sin\theta\cos\varphi\,\mathbf{a}_{r}+25\,\cos\theta\cos\varphi\,\mathbf{a}_{\theta}-25\,\sin\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi}

Passo 6

Pequena verificação (para te deixar mais confiante): escolha \theta=\pi/2 e \varphi=0. Então \sin\theta=1, \cos\theta=0, \cos\varphi=1, \sin\varphi=0. As componentes viram F_{r}=25, F_{\theta}=0, F_{\varphi}=0, ou seja \mathbf{F}=25\,\mathbf{a}_{r} naquele ponto — e isso faz sentido porque, no ponto do equador com \varphi=0, a direção radial aponta exatamente para +x.

Resposta

\mathbf{F}=25\,\sin\theta\cos\varphi\,\mathbf{a}_{r}+25\,\cos\theta\cos\varphi\,\mathbf{a}_{\theta}-25\,\sin\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi}
(F_{r},F_{\theta},F_{\varphi})=\bigl(25\sin\theta\cos\varphi,\;25\cos\theta\cos\varphi,\;-25\sin\varphi\bigr)

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