Expresse o campo vetorial uniforme
em componentes esféricos.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial uniforme
e pede para expressá‑lo em componentes esféricas.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O vetor é
vezes o versor cartesiano . - Precisamos dar as componentes desse mesmo vetor na base esférica
.
Passo 2
Precisamos usar a relação entre os versores cartesianos e esféricos. Vou adotar a convenção padrão (física/engenharia):
-
é a distância radial ao origem, -
é o ângulo polar medido a partir do eixo (ou seja, em ), -
é o ângulo azimutal no plano , medido a partir do eixo em direção a .
As expressões dos versores esféricos em termos dos cartesianos são (cada fórmula está isolada em bloco):
Essas relações significam que qualquer vetor pode ser expresso tanto na base
quanto na base
, e para obter componentes na base esférica basta projetar o vetor nesses versores.
Passo 3
Método para achar as componentes esféricas: como
é uma base ortonormal, a componente de
na direção
é
, e analogamente para
e
.
Vamos calcular primeiro os produtos escalares entre
e os versores esféricos (usando as expressões do Passo 2). Como
e
etc., temos:
Aqui eu apenas peguei o coeficiente de
nas expressões de
(por exemplo,
tem coeficiente
na direção
, logo o produto escalar com
dá esse valor).
Passo 4
Agora obtenho as componentes do campo
projetando em cada versor esférico:
Expliquei o porquê de cada termo: multiplicamos
pelo respectivo coeficiente que aparece quando escrevemos o versor esférico em função de
.
Passo 5
Escrevendo o vetor na base esférica:
com os
que acabamos de calcular. Substituindo:
Passo 6
Pequena verificação (para te deixar mais confiante): escolha
e
. Então
,
,
,
. As componentes viram
,
,
, ou seja
naquele ponto — e isso faz sentido porque, no ponto do equador com
, a direção radial aponta exatamente para
.