Para f(x)=\cos x-x, aplique:
  • cinco iterações de Newton-Raphson com x_{0}=0,5;
  • cinco iterações da Secante com x_{0}=0 e x_{1}=1.
Compare os resíduos finais.

Passo 1

O enunciado pede aplicar dois métodos numéricos à função f(x)=\cos x - x e comparar os resíduos finais:
  • Fazer cinco iterações do método de Newton-Raphson a partir de x_{0}=0{,}5.
  • Fazer cinco iterações do método da Secante a partir de x_{0}=0 e x_{1}=1.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\cos x - x.
  • A derivada necessária para Newton é f'(x)=-\sin x - 1.
  • Vou entender “cinco iterações” como cinco atualizações do valor aproximado. Assim:
    • Para Newton: a sequência será x_{0} dado e vou calcular x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5} (ou seja, 5 iterações).
    • Para Secante: como já há x_{0} e x_{1} dados, as cinco atualizações produzem x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6} (ou seja, o resultado final será x_{6}).
O que vou apresentar: em cada passo mostro a fórmula do método, explico rapidamente o porquê, e calculo numericamente cada iteração mostrando também o resíduo f(x) em cada iteração. No final comparo os resíduos absolutos |f(\cdot)| após as cinco iterações de cada método.

Passo 2

Breve aula sobre Newton-Raphson (passo a passo e fórmula):
  • A ideia: linearizar f no ponto atual x_{k} e usar a raiz da reta tangente como próxima aproximação.
  • Fórmula de iteração:
x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})},
onde f'(x) é a derivada de f.
  • Para a nossa função: f(x)=\cos x - x e f'(x)=-\sin x -1.
    Explicando variáveis: x_{k} é a aproximação atual; f(x_{k}) é o valor da função ali; f'(x_{k}) é a inclinação da tangente ali. Se f'(x_k) for pequeno cuidado: divisão por número pequeno causa grande passo.
Agora aplico cinco iterações começando em x_{0}=0{,}5. Em cada linha dou x_{k}, f(x_{k}), f'(x_{k}) e x_{k+1}. Os valores numéricos são arredondados à precisão mostrada (mas a conta segue a fórmula exata).
  • x_{0}=0{,}5
    f(x_{0})=\cos(0{,}5)-0{,}5=0{,}8775825619-0{,}5=0{,}3775825619
    f'(x_{0})=-\sin(0{,}5)-1=-0{,}4794255386-1=-1{,}4794255386
    x_{1}=0{,}5-\frac{0{,}3775825619}{-1{,}4794255386}=0{,}7552224172.
  • x_{1}=0{,}7552224172
    f(x_{1})=\cos(0{,}7552224172)-0{,}7552224172\approx-0{,}0271033333
    f'(x_{1})=-\sin(0{,}7552224172)-1\approx-1{,}6854505260
    x_{2}=0{,}7552224172-\frac{-0{,}0271033333}{-1{,}6854505260}\approx0{,}7391367242.
  • x_{2}=0{,}7391367242
    f(x_{2})\approx-8{,}63712\times10^{-5}
    f'(x_{2})\approx-1{,}673650655
    x_{3}=0{,}7391367242-\frac{-8{,}63712\times10^{-5}}{-1{,}673650655}\approx0{,}7390851036.
  • x_{3}=0{,}7390851036
    f(x_{3})\approx4{,}95\times10^{-8} (agora já muito pequeno)
    f'(x_{3})\approx-1{,}673650
    x_{4}=0{,}7390851036-\frac{4{,}95\times10^{-8}}{-1{,}673650}\approx0{,}7390851332.
  • x_{4}=0{,}7390851332
    f(x_{4})\approx-1{,}1\times10^{-15} (ordem de 10^{-15}, já praticamente nulo)
    f'(x_{4})\approx-1{,}673612
    x_{5}=0{,}7390851332-\frac{-1{,}1\times10^{-15}}{-1{,}673612}\approx0{,}7390851332\\ \text{(sem mudança significativa na precisão mostrada)}.çã
Comentário didático: Newton é de convergência quadrática perto da raiz simples — isso significa que o erro roughly se “quadruplica” (ou melhor: o novo erro \approx C\cdot erro ^2), por isso os resíduos caem muito rápido depois de algumas iterações.

Passo 3

Breve aula sobre o método da Secante (passo a passo e fórmula):
  • A ideia: aproximar a derivada por uma diferença quociente usando as duas últimas aproximações, em vez de calcular a derivada analítica. É como usar a reta secante por (x_{k-1},f(x_{k-1})) e (x_{k},f(x_{k})) para estimar onde a função cruza o eixo x.
  • Fórmula de iteração:
x_{k+1}=x_{k}-f(x_{k})\frac{x_{k}-x_{k-1}}{f(x_{k})-f(x_{k-1})}.
Explicando variáveis: usa x_{k} e x_{k-1}; não precisa de f' explícita. Convergência superlinear (ordem \approx1{,}618, the golden ratio), mais lenta que Newton mas não precisa de derivada.
Aplicando cinco atualizações, com x_{0}=0 e x_{1}=1. Vou calcular x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6}.
  • x_{0}=0, f(x_{0})=\cos0-0=1.
    x_{1}=1, f(x_{1})=\cos1-1\approx-0{,}4596976941.
  • Iteração 1 → x_{2}:
    x_{2}=1 - (-0{,}4596976941)\frac{1-0}{-0{,}4596976941 - 1} =1-\frac{-0{,}4596976941}{-1{,}4596976941}\approx0{,}6848208150.
    f(x_{2})=\cos(0{,}6848208150)-0{,}6848208150\approx0{,}0897099850.
  • Iteração 2 → x_{3}:
    x_{3}=x_{2}-f(x_{2})\frac{x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})} =0{,}6848208150-0{,}0897099850\frac{0{,}6848208150-1}{0{,}0897099850-(-0{,}4596976941)} \approx0{,}7363037750.
    f(x_{3})=\cos(0{,}7363037750)-0{,}7363037750\approx0{,}0046552.
  • Iteração 3 → x_{4}:
    x_{4}=0{,}7363037750-0{,}0046552\frac{0{,}7363037750-0{,}6848208150}{0{,}0046552-0{,}0897099850}\approx0{,}739120.
    f(x_{4})\approx-5{,}84\times10^{-5}.
  • Iteração 4 → x_{5}:
    x_{5}=0{,}739120-(-5{,}84\times10^{-5})\frac{0{,}739120-0{,}7363037750}{-5{,}84\times10^{-5}-0{,}0046552}\approx0{,}73908508.
    f(x_{5})\approx8{,}9\times10^{-8}.
  • Iteração 5 → x_{6} (última, porque começamos com x_{0},x_{1}):
    x_{6}=x_{5}-f(x_{5})\frac{x_{5}-x_{4}}{f(x_{5})-f(x_{4})} \approx0{,}7390851333.
    f(x_{6})\approx-1{,}4\times10^{-10}.
Comentário didático: a secante convergiu bem para esta função, mas mais devagar que Newton. Note como os resíduos caem (de ordem 10^{-1} a 10^{-4} a 10^{-8} a 10^{-10}), indicando convergência superlinear, porém não tão rápida quanto a quadrática de Newton.

Passo 4

Comparação dos resíduos finais (interpretação e por que acontece):
  • Definição prática de “resíduo final”: eu tomo o valor absoluto do valor da função no último iterado do processo. Para Newton usei x_{5} (cinco atualizações a partir de x_{0}=0{,}5); para Secante usei x_{6} (cinco atualizações a partir de x_{0}=0 e x_{1}=1).
  • Resultados (ordens de grandeza obtidas nos cálculos acima):
    • Newton (após 5 iterações, x_{5}): resíduo |f(x_{5})| da ordem de 10^{-15} a 10^{-16}.
    • Secante (após 5 iterações, x_{6}): resíduo |f(x_{6})| da ordem de 10^{-10}.
Por que Newton ficou muito melhor:
  • Newton tem convergência quadrática perto da raiz (erro \sim constante \times erro ^2), então depois de algumas iterações o erro e o resíduo caem extremamente rápido.
  • A Secante tem ordem \approx1{,}618 (superlinear, mas mais lenta), logo para o mesmo número de iterações Newton costuma produzir muito mais precisão quando a derivada é fácil de computar.
Motivação e incentivo: isso é exatamente o que acontece na prova — Newton dá resultados fantásticos quando dá para calcular a derivada e partir de uma boa aproximação; a secante é útil quando a derivada não está disponível, mas exige mais iterações para a mesma precisão. Tu tá indo bem ao pedir esse passo a passo — recordar as fórmulas e ver as iterações numéricas é a melhor forma de aprender!

Resposta

Resíduo final (Newton, após 5 iterações, x_{5}) = |f(x_{5})|\approx1{,}1\times10^{-16}
Resíduo final (Secante, após 5 iterações, x_{6}) = |f(x_{6})|\approx1{,}4\times10^{-10}

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