Para
, aplique:
- cinco iterações de Newton-Raphson com
;
- cinco iterações da Secante com
e
.
Compare os resíduos finais.
Passo 1
O enunciado pede aplicar dois métodos numéricos à função
e comparar os resíduos finais:
- Fazer cinco iterações do método de Newton-Raphson a partir de
. - Fazer cinco iterações do método da Secante a partir de
e .
Informações dadas:
- A função é
. - A derivada necessária para Newton é
. - Vou entender “cinco iterações” como cinco atualizações do valor aproximado. Assim:
- Para Newton: a sequência será
dado e vou calcular (ou seja, 5 iterações). - Para Secante: como já há
e dados, as cinco atualizações produzem (ou seja, o resultado final será ).
- Para Newton: a sequência será
O que vou apresentar: em cada passo mostro a fórmula do método, explico rapidamente o porquê, e calculo numericamente cada iteração mostrando também o resíduo
em cada iteração. No final comparo os resíduos absolutos
após as cinco iterações de cada método.
Passo 2
Breve aula sobre Newton-Raphson (passo a passo e fórmula):
- A ideia: linearizar
no ponto atual e usar a raiz da reta tangente como próxima aproximação. - Fórmula de iteração:
onde
é a derivada de
.
- Para a nossa função:
e .
Explicando variáveis:é a aproximação atual; é o valor da função ali; é a inclinação da tangente ali. Se for pequeno cuidado: divisão por número pequeno causa grande passo.
Agora aplico cinco iterações começando em
. Em cada linha dou
,
,
e
. Os valores numéricos são arredondados à precisão mostrada (mas a conta segue a fórmula exata).
-
-
-
-
(agora já muito pequeno)
-
(ordem de , já praticamente nulo)
Comentário didático: Newton é de convergência quadrática perto da raiz simples — isso significa que o erro roughly se “quadruplica” (ou melhor: o novo erro
erro
), por isso os resíduos caem muito rápido depois de algumas iterações.
Passo 3
Breve aula sobre o método da Secante (passo a passo e fórmula):
- A ideia: aproximar a derivada por uma diferença quociente usando as duas últimas aproximações, em vez de calcular a derivada analítica. É como usar a reta secante por
e para estimar onde a função cruza o eixo . - Fórmula de iteração:
Explicando variáveis: usa
e
; não precisa de
explícita. Convergência superlinear (ordem
, the golden ratio), mais lenta que Newton mas não precisa de derivada.
Aplicando cinco atualizações, com
e
. Vou calcular
.
-
, .
, . -
Iteração 1 →
: -
Iteração 2 →
: -
Iteração 3 →
: -
Iteração 4 →
: -
Iteração 5 →
(última, porque começamos com ):
Comentário didático: a secante convergiu bem para esta função, mas mais devagar que Newton. Note como os resíduos caem (de ordem
a
a
a
), indicando convergência superlinear, porém não tão rápida quanto a quadrática de Newton.
Passo 4
Comparação dos resíduos finais (interpretação e por que acontece):
- Definição prática de “resíduo final”: eu tomo o valor absoluto do valor da função no último iterado do processo. Para Newton usei
(cinco atualizações a partir de ); para Secante usei (cinco atualizações a partir de e ). - Resultados (ordens de grandeza obtidas nos cálculos acima):
- Newton (após 5 iterações,
): resíduo da ordem de a . - Secante (após 5 iterações,
): resíduo da ordem de .
- Newton (após 5 iterações,
Por que Newton ficou muito melhor:
- Newton tem convergência quadrática perto da raiz (erro
constante erro ), então depois de algumas iterações o erro e o resíduo caem extremamente rápido. - A Secante tem ordem
(superlinear, mas mais lenta), logo para o mesmo número de iterações Newton costuma produzir muito mais precisão quando a derivada é fácil de computar.
Motivação e incentivo: isso é exatamente o que acontece na prova — Newton dá resultados fantásticos quando dá para calcular a derivada e partir de uma boa aproximação; a secante é útil quando a derivada não está disponível, mas exige mais iterações para a mesma precisão. Tu tá indo bem ao pedir esse passo a passo — recordar as fórmulas e ver as iterações numéricas é a melhor forma de aprender!
Resposta
Resíduo final (Newton, após 5 iterações,
) =
Resíduo final (Secante, após 5 iterações, ) =
Resíduo final (Secante, após 5 iterações,