1. Se f(x)=3 x+1 e f \circ g(x)=2 x-1, determine g(x).

Passo 1

O enunciado dá f(x)=3x+1 e afirma que
(f\circ g)(x)=2x-1.
Queremos determinar g(x). O conteúdo principal aqui é composição de funções e inversão de função linear.

Passo 2

Observamos que f é uma função afim de coeficiente angular 3\neq0, logo é invertível. Para achar f^{-1}, resolvemos
y = 3x + 1
para x. Assim,
f^{-1}(y) = \frac{y - 1}{3}.

Passo 3

Como (f\circ g)(x)=2x-1, aplicamos f^{-1} em ambos os lados para isolar g(x):
g(x)=f^{-1}\bigl(2x-1\bigr).

Passo 4

Substituímos a expressão de f^{-1} e simplificamos:
g(x) = \frac{(2x-1)-1}{3} = \frac{2x-2}{3} = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}.

Passo 5

Verificação rápida:
f\bigl(g(x)\bigr) = 3\Bigl(\frac{2x-2}{3}\Bigr) + 1 = 2x - 2 + 1 = 2x - 1,
como exigido.

Resposta

g(x)=\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}.

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