Em uma fábrica há \mathbf{2 0} sensores de temperatura para controle de motores. Cada sensor tem 98 \% de chance de ser aprovado em um teste. Em uma inspeção, qual é a probabilidade de exatamente 18 sensores serem aprovados? ( R : 0,053)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • 20 sensores testados.
  • Cada sensor tem probabilidade de aprovação igual a 98\%, ou seja, p=0,98.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que exatamente 18 sensores sejam aprovados na inspeção?

Passo 2

Como estamos contando quantos sensores (de 20) dão certo num mesmo teste com mesma probabilidade por sensor, vamos modelar isso por uma sequência de ensaios independentes com duas possibilidades (aprovado ou reprovado). A fórmula que descreve a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n ensaios deste tipo é
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k entre os n deram sucesso;
  • p é a probabilidade de sucesso em um ensaio;
  • (1-p) é a probabilidade de fracasso;
  • n é o número total de ensaios;
  • k é o número desejado de sucessos.
Aqui n=20, k=18 e p=0,98. Substituiremos esses valores na fórmula.

Passo 3

Calcular o coeficiente binomial \binom{20}{18}. Usando a definição
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
temos
\binom{20}{18}=\binom{20}{2}=\frac{20\cdot19}{2\cdot1}=190.
(Usei a simetria \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} para simplificar o cálculo.)

Passo 4

Escrever a probabilidade pedida com os números:
P(X=18)=190\cdot 0,98^{18}\cdot 0,02^{2}.
Calcule primeiro 0,02^{2}:
0,02^{2}=0,0004.

Passo 5

Agora precisamos de 0,98^{18}. Vou calcular por multiplicações sucessivas (mostrando alguns valores intermediários para acompanhar):
0,98^{2}=0,9604
0,98^{3}=0,9604\cdot0,98=0,941192
0,98^{4}=0,941192\cdot0,98=0,92236816
0,98^{5}=0,92236816\cdot0,98=0,9039207968
0,98^{6}=0,9039207968\cdot0,98=0,885842380864
0,98^{7}=0,885842380864\cdot0,98=0,86812553324672
0,98^{8}=0,86812553324672\cdot0,98=0,8507630225817856
0,98^{9}=0,8507630225817856\cdot0,98=0,83374776213015
0,98^{10}=0,83374776213015\cdot0,98=0,817072806887547
0,98^{11}=0,817072806887547\cdot0,98=0,800731350749796
0,98^{12}=0,800731350749796\cdot0,98=0,7847167237348001
0,98^{13}=0,7847167237348001\cdot0,98=0,7690223892601041
0,98^{14}=0,7690223892601041\cdot0,98=0,753642941474902
0,98^{15}=0,753642941474902\cdot0,98=0,7385690826454039
0,98^{16}=0,7385690826454039\cdot0,98=0,7237977009924959
0,98^{17}=0,7237977009924959\cdot0,98=0,7093217469726460
0,98^{18}=0,7093217469726460\cdot0,98=0,6951353120331931.
Portanto 0,98^{18}\approx 0,6951353120331931.

Passo 6

Agora multiplico tudo:
P(X=18)=190\cdot 0,6951353120331931\cdot 0,0004.
Calcule 190\cdot 0,0004 primeiro:
190\cdot 0,0004=0,076.
Agora
0,6951353120331931\cdot 0,076 \approx 0,0528302837145227.
Arredondando para três casas decimais (como no gabarito dado), isso dá 0,053.

Resposta

0,053

Exercícios relacionados