Em uma fábrica há
sensores de temperatura para controle de motores. Cada sensor tem
de chance de ser aprovado em um teste. Em uma inspeção, qual é a probabilidade de exatamente 18 sensores serem aprovados? (
: 0,053)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Há
sensores testados. - Cada sensor tem probabilidade de aprovação igual a
, ou seja, . - Pergunta: qual a probabilidade de que exatamente
sensores sejam aprovados na inspeção?
Passo 2
Como estamos contando quantos sensores (de
) dão certo num mesmo teste com mesma probabilidade por sensor, vamos modelar isso por uma sequência de ensaios independentes com duas possibilidades (aprovado ou reprovado). A fórmula que descreve a probabilidade de obter exatamente
sucessos em
ensaios deste tipo é
onde:
-
é o número de maneiras de escolher quais entre os deram sucesso; -
é a probabilidade de sucesso em um ensaio; -
é a probabilidade de fracasso; -
é o número total de ensaios; -
é o número desejado de sucessos.
Aqui
,
e
. Substituiremos esses valores na fórmula.
Passo 3
Calcular o coeficiente binomial
. Usando a definição
temos
(Usei a simetria
para simplificar o cálculo.)
Passo 4
Escrever a probabilidade pedida com os números:
Calcule primeiro
:
Passo 5
Agora precisamos de
. Vou calcular por multiplicações sucessivas (mostrando alguns valores intermediários para acompanhar):
Portanto
.
Passo 6
Agora multiplico tudo:
Calcule
primeiro:
Agora
Arredondando para três casas decimais (como no gabarito dado), isso dá
.