Uma fábrica produz frascos de vidro cujo peso médio deve ser de 250 gramas. O desvio-padrão populacional é conhecido e vale 12 g . Para verificar se o processo está produzindo frascos mais leves do que o padrão, realiza-se um teste de hipótese:
H_{0}: \mu=250 \quad H_{1}: \mu<250
Uma amostra aleatória de 36 frascos é coletada. A empresa decide rejeitar H_{0} se a média amostral for menor que 245 g .
(a) Explique o que significa cometer um erro Tipo I nesse contexto.
(b) Explique o que significa cometer um erro Tipo II nesse contexto.
(c) Calcule a probabilidade de um erro Tipo I.
(d) Suponha que, na realidade, o peso médio dos frascos caiu para 247 g . Calcule a probabilidade de erro Tipo II.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas: (a) explicar o que é cometer um erro Tipo I no contexto; (b) explicar o que é cometer um erro Tipo II no contexto; (c) calcular a probabilidade de erro Tipo I com os dados fornecidos; (d) calcular a probabilidade de erro Tipo II supondo que o verdadeiro valor da média é 247 g.
Dados fornecidos:
H_{0}: \mu=250,\quad H_{1}: \mu<250
\sigma = 12,\quad n=36
Regra de decisão dada pela empresa: rejeitar H_{0} se a média amostral \bar{X}<245 g.

Passo 2

(a) O que significa cometer um erro Tipo I (explicação didática e no contexto):
Erro Tipo I é rejeitar H_{0} quando, na verdade, H_{0} é verdadeira. Em linguagem prática: significa concluir que o processo está produzindo frascos mais leves que o padrão (isto é, afirmar que \mu<250) quando, na realidade, a média verdadeira é \mu=250. É um falso positivo — você acha que há problema no processo quando não há.

Passo 3

(b) O que significa cometer um erro Tipo II (explicação didática e no contexto):
Erro Tipo II é não rejeitar H_{0} quando, na verdade, H_{1} é verdadeira. No contexto: significa não detectar que os frascos ficaram mais leves (isto é, não concluir que \mu<250) quando, na realidade, a média caiu (por exemplo, \mu é menor que 250). É um falso negativo — você deixa passar um problema no processo sem perceber.

Passo 4

Preparação para calcular probabilidades (distribuição da média amostral e conceito de erro):
Quando a população é normal (ou n é suficientemente grande) e \sigma é conhecida, a média amostral \bar{X} tem distribuição normal com média \mu e desvio-padrão igual ao erro padrão \sigma_{\bar{X}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Aqui:
\sigma_{\bar{X}}=\frac{12}{\sqrt{36}}=\frac{12}{6}=2.
Portanto, para qualquer valor real da média \mu,
\bar{X}\sim N\bigl(\mu,\;2^{2}\bigr).
Para transformar probabilidades de \bar{X} em probabilidades da normal padrão Z, usamos a transformação
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma_{\bar{X}}}.
Esta transformação coloca a média em zero e o desvio-padrão em 1, permitindo usar tabelas ou valores conhecidos da normal padrão.

Passo 5

(c) Probabilidade de erro Tipo I (cálculo passo a passo):
Erro Tipo I = P(\text{rejeitar }H_{0}\mid H_{0}\text{ verdadeira}).
Como rejeitamos quando \bar{X}<245 e assumindo H_{0} verdadeira ( \mu=250),
\alpha = P\bigl(\bar{X}<245 \mid \mu=250\bigr).
Transformando para Z:
\alpha = P\!\left(Z<\frac{245-250}{2}\right)=P\!\left(Z<\frac{-5}{2}\right)=P(Z<-2{,}5).
Usando a tabela da normal padrão (ou valores conhecidos),
P(Z<-2{,}5)\approx 0{,}0062.
Logo, a probabilidade de erro Tipo I é aproximadamente 0{,}0062 (ou 0{,}62\%).

Passo 6

(d) Probabilidade de erro Tipo II quando \mu=247 (cálculo passo a passo):
Erro Tipo II = P(\text{não rejeitar }H_{0}\mid \mu=\text{valor real})ã.
A regra não rejeitar (sob a regra dada) corresponde a \bar{X}\ge 245. Para \mu=247,
\beta = P\bigl(\bar{X}\ge 245 \mid \mu=247\bigr).
Transformando para Z:
\beta = P\!\left(Z\ge\frac{245-247}{2}\right)=P\!\left(Z\ge\frac{-2}{2}\right)=P(Z\ge -1).
Sabemos que P(Z\ge -1)=1-P(Z<-1)=1-(1-P(Z\le 1))=P(Z\le 1). Usando valores da normal padrão,
P(Z\ge -1)=0{,}8413.
Portanto, a probabilidade de erro Tipo II, quando a média real é 247 g, é aproximadamente 0{,}8413 (ou 84{,}13\%).
Nota didática rápida: a potência do teste para \mu=247 é 1-\beta\approx 0{,}1587 (ou 15{,}87\%), ou seja, o teste tem pouca chance de detectar uma queda pequena como essa com a regra de rejeitar só se \bar{X}<245.

Resposta

(a) Rejeitar H_{0} quando na verdade \mu=250: concluir que os frascos estão mais leves quando na realidade não estão (falso positivo).
(b) Não rejeitar H_{0} quando na verdade \mu<250: deixar de detectar que os frascos ficaram mais leves (falso negativo).
(c) P(\text{Tipo I})=\alpha=P(\bar{X}<245\mid\mu=250)\approx 0{,}0062.
(d) P(\text{Tipo II})=\beta=P(\bar{X}\ge245\mid\mu=247)\approx 0{,}8413.

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