Uma fábrica produz frascos de vidro cujo peso médio deve ser de 250 gramas. O desvio-padrão populacional é conhecido e vale 12 g . Para verificar se o processo está produzindo frascos mais leves do que o padrão, realiza-se um teste de hipótese:
Uma amostra aleatória de 36 frascos é coletada. A empresa decide rejeitar
se a média amostral for menor que 245 g .
(a) Explique o que significa cometer um erro Tipo I nesse contexto.
(b) Explique o que significa cometer um erro Tipo II nesse contexto.
(c) Calcule a probabilidade de um erro Tipo I.
(d) Suponha que, na realidade, o peso médio dos frascos caiu para 247 g . Calcule a probabilidade de erro Tipo II.
(a) Explique o que significa cometer um erro Tipo I nesse contexto.
(b) Explique o que significa cometer um erro Tipo II nesse contexto.
(c) Calcule a probabilidade de um erro Tipo I.
(d) Suponha que, na realidade, o peso médio dos frascos caiu para 247 g . Calcule a probabilidade de erro Tipo II.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas: (a) explicar o que é cometer um erro Tipo I no contexto; (b) explicar o que é cometer um erro Tipo II no contexto; (c) calcular a probabilidade de erro Tipo I com os dados fornecidos; (d) calcular a probabilidade de erro Tipo II supondo que o verdadeiro valor da média é
g.
Dados fornecidos:
Regra de decisão dada pela empresa: rejeitar
se a média amostral
g.
Passo 2
(a) O que significa cometer um erro Tipo I (explicação didática e no contexto):
Erro Tipo I é rejeitar
quando, na verdade,
é verdadeira. Em linguagem prática: significa concluir que o processo está produzindo frascos mais leves que o padrão (isto é, afirmar que
) quando, na realidade, a média verdadeira é
. É um falso positivo — você acha que há problema no processo quando não há.
Passo 3
(b) O que significa cometer um erro Tipo II (explicação didática e no contexto):
Erro Tipo II é não rejeitar
quando, na verdade,
é verdadeira. No contexto: significa não detectar que os frascos ficaram mais leves (isto é, não concluir que
) quando, na realidade, a média caiu (por exemplo,
é menor que
). É um falso negativo — você deixa passar um problema no processo sem perceber.
Passo 4
Preparação para calcular probabilidades (distribuição da média amostral e conceito de erro):
Quando a população é normal (ou n é suficientemente grande) e
é conhecida, a média amostral
tem distribuição normal com média
e desvio-padrão igual ao erro padrão
.
Aqui:
Portanto, para qualquer valor real da média
,
Para transformar probabilidades de
em probabilidades da normal padrão
, usamos a transformação
Esta transformação coloca a média em zero e o desvio-padrão em
, permitindo usar tabelas ou valores conhecidos da normal padrão.
Passo 5
(c) Probabilidade de erro Tipo I (cálculo passo a passo):
Erro Tipo I =
.
Como rejeitamos quando e assumindo
verdadeira (
),
Como rejeitamos quando
Transformando para
:
Usando a tabela da normal padrão (ou valores conhecidos),
Logo, a probabilidade de erro Tipo I é aproximadamente
(ou
).
Passo 6
(d) Probabilidade de erro Tipo II quando
(cálculo passo a passo):
Erro Tipo II =
.
A regra não rejeitar (sob a regra dada) corresponde a . Para
,
A regra não rejeitar (sob a regra dada) corresponde a
Transformando para
:
Sabemos que
. Usando valores da normal padrão,
Portanto, a probabilidade de erro Tipo II, quando a média real é
g, é aproximadamente
(ou
).
Nota didática rápida: a potência do teste para
é
(ou
), ou seja, o teste tem pouca chance de detectar uma queda pequena como essa com a regra de rejeitar só se
.
Resposta
(a) Rejeitar
quando na verdade
: concluir que os frascos estão mais leves quando na realidade não estão (falso positivo).
(b) Não rejeitar quando na verdade
: deixar de detectar que os frascos ficaram mais leves (falso negativo).
(c) .
(d) .
(b) Não rejeitar
(c)
(d)