O enunciado pergunta explicitamente: “O que é fatoração ou decomposição matricial?”
Informações dadas: nenhuma outra informação além da pergunta.
Objetivo nesta solução: explicar claramente o que significa fatorar (decompor) uma matriz, para que isso serve, apresentar os principais tipos de fatoração, como calculá‑los passo a passo em exemplos pequenos, e dar dicas de escolha para a prova.
Passo 2
Definição informativa e direta. Uma fatoração (ou decomposição) matricial é escrever uma matriz A como o produto de matrizes mais simples, isto é,
A = M_1 M_2 \cdots M_k,
onde cada M_i tem uma estrutura que facilita cálculos (triangular, ortogonal, diagonal, etc.). A ideia útil: em vez de trabalhar direto com A, usamos as propriedades dessas matrizes mais simples para resolver sistemas, inverter, calcular determinantes, aproximar matrizes, etc. Por exemplo, se A=LU com L triangular inferior e U triangular superior, resolver A x=b vira resolver dois sistemas triangulares com substituições fáceis.
Passo 3
Explicando o formato e a utilidade do método LU.
Forma: \displaystyle A = L\,U.
Onde L é triangular inferior (geralmente com 1 na diagonal) e U é triangular superior.
Quando usar: resolver vários sistemas A x=b com o mesmo A e diferentes b; calcular determinante; economizar trabalho em prova.
Observações: às vezes é necessário permutar linhas (pivotamento), então usamos \displaystyle P A = L U com P permutação.
Vou mostrar passo a passo como obter LU por eliminação (jeito manual que cai em prova). Exemplo prático pequeno (fácil de fazer à mão):
Primeiro pivô: a_{11}=2. Multiplicadores para zerar abaixo: m_{21}=\dfrac{4}{2}=2, m_{31}=\dfrac{6}{2}=3. Subtraia m_{21} vezes a linha 1 da linha 2, e m_{31} vezes a linha 1 da linha 3.
Linha 2 nova: (4,3,3) - 2(2,1,1) = (0,1,1).
Linha 3 nova: (6,5,9) - 3(2,1,1) = (0,2,6).
Segundo pivô (submatriz): agora pivô é 1 (posição (2,2)). Multiplicador m_{32}=\dfrac{2}{1}=2. Subtraia 2 vezes a nova linha 2 da linha 3:
Linha 3 nova: (0,2,6)-2(0,1,1) = (0,0,4).
Verifique: L U = A. Esse é o procedimento básico que você faz na prova: executar eliminação e anotar multiplicadores.]
Passo 4
Como usar LU para resolver A x=b (truque prático útil em prova).
Suponha A=LU e queremos A x=b. Colocamos L y = b (substituição direta) e depois U x = y (substituição para cima). Isso evita refazer eliminação para cada b. No exemplo anterior, faça substituições por passos (forward e back substitution), que são operações que só somam/multiplicam — ótimas sem calculadora.
Passo 5
Fatoração de Cholesky (caso especial muito útil).
Forma: \displaystyle A = L L^{T} (ou A = R^{T} R), com L triangular inferior e \mathrm{diag}(L)>0.
Válida quando A é simétrica e definida positiva.
Vantagem: metade do trabalho do LU e mais estável numericamente para matrizes SPD.
Exemplo pequeno:
A=\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.
Passos para Cholesky (fórmulas elementares):
l_{11} = \sqrt{a_{11}} = \sqrt{4}=2.
l_{21} = \dfrac{a_{21}}{l_{11}} = \dfrac{2}{2}=1.
l_{22} = \sqrt{a_{22} - l_{21}^2} = \sqrt{3-1^2}=\sqrt{2}.
Logo
L = \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 1 & \sqrt{2}\end{pmatrix}, \qquad A = L L^{T}.
Na prova: se A é simétrica e você reconhece que provavelmente é definida positiva, tente Cholesky — é rápido e elegante.]
Passo 6
Fatoração QR (ortogonal + triangular).
Forma: \displaystyle A = Q R, com Q ortogonal (Q^{T}Q=I) e R triangular superior.
Quando usar: problemas de mínimos quadrados, estabilizar resolução, obter bases ortonormais.
Como calcular manualmente: processo de Gram–Schmidt (clássico) ou reflexões de Householder (mais numérico). Em prova frequentemente pedem Gram–Schmidt para matrizes pequenas.
Exemplo (Gram–Schmidt) com colunas:
Seja A com colunas v_1,v_2, onde
Na prova: se pedem resolver mínimos quadrados \min_x \|A x - b\|, use QR e resolva R x = Q^{T} b.]
Passo 7
Decomposição em valores singulares (SVD).
Forma: \displaystyle A = U \Sigma V^{T}, com U e V ortogonais e \Sigma diagonal (não-negativa) contendo os autovalores singulares.
Utilidades: pseudo‑inversa, aproximação de posto reduzido (compressão), estabilidade numérica.
Como pensar: singular values são raízes dos autovalores de A^{T}A. Fazer SVD manualmente é trabalhoso; em prova normalmente usam exemplos muito simples (diagonal, ou matrizes com simetria).
Exemplo trivial:
Seja A=\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}. Então já está em forma diagonal; SVD é
U = I,\quad \Sigma = \begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix},\quad V = I.
Para matrizes gerais, calcule A^{T}A, encontre autovalores \sigma_i^2, tome \sigma_i=\sqrt{\sigma_i^2} e construa V com autovetores de A^{T}A, depois U com u_i = \dfrac{1}{\sigma_i} A v_i.]
Passo 8
Decomposição espectral (autovalores/autovetores).
Forma: se A é diagonalizável, \displaystyle A = P D P^{-1} onde D é diagonal com autovalores e colunas de P são autovetores.
Uso: poderes de matrizes (A^k = P D^k P^{-1}), resolver sistemas dinâmicos, entender comportamento assintótico.
Exemplo rápido:
A=\begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt]2 & 3\end{pmatrix}.
Char polynomial: \lambda^2 -7\lambda +10 =0 com raízes \lambda=5,2. Autovetores:
para \lambda=5: vetor \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}; para \lambda=2: vetor \begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}. Então
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}5 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix},\quad A = P D P^{-1}.]
Passo 9
Quando escolher qual fatoração? (algoritmo prático para a prova — siga este raciocínio)
O enunciado pede um método específico? Use-o.
Precisa resolver A x=b muitas vezes com o mesmo A? Tente LU (ou PA=LU se precisar pivotar).
Se A é simétrica definida positiva? Use Cholesky (A=LL^{T}).
Problema de mínimos quadrados? Use QR (ou SVD se quer estabilidade máxima).
Quer inversa rápida, determinante, ou resolver potência de matriz/dinâmica? Veja se é diagonalizável (A=PDP^{-1}) ou use SVD para análise robusta.
Quer compressão ou pseudo‑inversa? Use SVD.
Passo 10
Cuidados numéricos e dicas de prova (práticas e de cabeça):
Sempre anote pivôs e multiplicadores ao fazer eliminação para construir L.
Se encontrar zero no pivô, troque linhas (pivotamento) e registre a permutação P. Em prova pequena, justificar troca é suficiente.
Para Cholesky, verifique simetria e positividade (por exemplo, principais menores positivos).
Gram–Schmidt clássico pode perder ortogonalidade numericamente; em prova para dimensões pequenas serve bem.
O SVD é conceitualmente importante; para cálculos manuais só em exemplos muito simples.
Defina e saiba citar a condição de estabilidade: número de condição \kappa(A)=\|A\|\|A^{-1}\| (quanto maior, mais sensível o sistema a erros).
Passo 11
Resumo das fórmulas e definição dos símbolos usados (para decorar e usar na prova):
A = L U: L triangular inferior (multiplicadores), U triangular superior.
P A = L U: P matriz de permutação (pivotamento).
A = L L^{T}: Cholesky, L triangular inferior com l_{ii}>0.
A = Q R: Q ortogonal (Q^{T}Q=I), R triangular superior.
A = U \Sigma V^{T}: SVD, \Sigma diag de singular values \sigma_i\ge0.
A = P D P^{-1}: decomposição espectral, D diag de autovalores, colunas de P são autovetores.
Passo 12
Dica final motivacional (curta e prática): na prova, identifique rápido o tipo da matriz (simétrica, SPD, retangular, quadrada) e o objetivo (resolver, aproximar, inverter). Isso já reduz muito as opções. Comece sempre pela técnica mais simples que atende ao objetivo (por exemplo, LU para Ax=b; Cholesky se possível). Anote cada passo da eliminação — isso conta ponto e evita erro bobos. Você consegue — faz devagar nos primeiros exemplos e pega ritmo.
Resposta
Fatoração (ou decomposição) matricial é representar uma matriz A como produto de matrizes mais simples cujas propriedades tornam cálculos (resolver sistemas, inverter, calcular determinantes, aproximar, etc.) mais fáceis; exemplos comuns: \;A=LU, \;PA=LU, \;A=LL^{T} (Cholesky), \;A=QR, \;A=U\Sigma V^{T} (SVD) e \;A=PDP^{-1} (decomposição espectral).