Fechando, de uma forma adequada, as superfícies abertas dadas e utilizando o Teorema de Gauss, calcule o fluxo do campo vec{F} através de S, com vec{n} exterior à superfície fechada.
vec{F}(x, y, z)=(0,0,2 z), onde S é a superfície do paralelepípedo limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=1, \quad y=2, \quad z=3, exceto a face superior.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • O campo vetorial \vec{F}(x,y,z) = (0,0,2z).
  • A região é o paralelepípedo limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=1, y=2, z=3. Logo o volume é
V=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le2,\;0\le z\le3\}.
  • A superfície S é a superfície do paralelepípedo mencionada, exceto a face superior (aquela em z=3). Ou seja, S é a união das cinco faces restantes: as faces em x=0, x=1, y=0, y=2 e z=0.
  • O pedido: calcular o fluxo de \vec{F} através de S, tomando \vec{n} como a normal exterior à superfície fechada (isto é, a orientação deve ser a que aponta para fora do paralelepípedo quando a superfície estiver completa).

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método que vamos usar).
  • Como S é uma superfície aberta (faltando a face superior), fica mais prático fechá-la adicionando a face em z=3 e aplicar o Teorema de Gauss (Teorema da Divergência) ao volume V. Depois subtrai-se o fluxo através da face adicionada para obter o fluxo através de S.
  • O Teorema de Gauss afirma o seguinte (fórmula e significado):
\iint_{\partial V} \vec{F}\cdot\vec{n}\,dS \;=\; \iiint_{V} \nabla\cdot\vec{F}\,dV.
Aqui \partial V é a superfície fechada que limita o volume V, \vec{n} é a normal exterior, e \nabla\cdot\vec{F} é a divergência de \vec{F}, que mede a “taxa de saída” do campo por unidade de volume.
  • Portanto primeiro calculamos a divergência de \vec{F}.
Calcular a divergência.
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(0)+\frac{\partial}{\partial y}(0)+\frac{\partial}{\partial z}(2z).
Cada termo é:
\frac{\partial}{\partial x}(0)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(0)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial z}(2z)=2.
Logo
\nabla\cdot\vec{F}=2.

Passo 3

Aplicar o Teorema de Gauss ao volume V.
  • Pelo teorema,
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS \;=\; \iiint_{V} 2\,dV.
  • Calculamos o integral triplo sobre o paralelepípedo V=[0,1]\times[0,2]\times[0,3]:
\iiint_{V} 2\,dV = 2\int_{0}^{1}\int_{0}^{2}\int_{0}^{3} dz\,dy\,dx.
  • Avaliando:
\int_{0}^{3} dz = 3,\qquad \int_{0}^{2} dy = 2,\qquad \int_{0}^{1} dx = 1,
portanto
\iiint_{V} 2\,dV = 2\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 12.
Isto é, o fluxo total através da superfície fechada \partial V (todas as seis faces, com normais apontando para fora) é 12.

Passo 4

Calcular o fluxo através da face superior (a que adicionamos) por integral direta.
  • A face superior está em z=3. Para a superfície fechada a normal exterior nessa face aponta para cima, isto é \vec{n}=(0,0,1).
  • No plano z=3 temos \vec{F}=(0,0,2z)=(0,0,6).
  • O produto escalar \vec{F}\cdot\vec{n}=6.
  • A face superior tem área igual a 1\times 2=2 (pois x varia em [0,1] e y em [0,2]). Portanto o fluxo pela face superior é
\iint_{\text{top}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = 6\cdot (\text{área}) = 6\cdot 2 = 12.á
Também se pode ver como integral iterada:
\iint_{\text{top}} 6\,dS = \int_{0}^{1}\int_{0}^{2} 6\,dy\,dx = 6\cdot 2\cdot 1 = 12.

Passo 5

Relacionar fluxos para obter o fluxo pedido através de S.
  • Seja \Phi_{\text{fechada}} o fluxo através de toda a superfície fechada \partial V (todas as seis faces). Seja \Phi_{\text{top}} o fluxo através da face superior (a que adicionamos). Seja \Phi_{S} o fluxo através da superfície original S (as cinco faces restantes).
  • Tem-se a soma das contribuições:
\Phi_{\text{fechada}} = \Phi_{S} + \Phi_{\text{top}}.
  • Substituindo os valores calculados:
12 = \Phi_{S} + 12.
  • Assim
\Phi_{S} = 12 - 12 = 0.

Resposta

0

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