Fechando, de uma forma adequada, as superfícies abertas dadas e utilizando o Teorema de Gauss, calcule o fluxo do campo
através de
, com
exterior à superfície fechada.
, onde
é a superfície do paralelepípedo limitado pelos planos coordenados e pelos planos
, exceto a face superior.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- O campo vetorial
. - A região é o paralelepípedo limitado pelos planos coordenados e pelos planos
, , . Logo o volume é
- A superfície
é a superfície do paralelepípedo mencionada, exceto a face superior (aquela em ). Ou seja, é a união das cinco faces restantes: as faces em , , , e . - O pedido: calcular o fluxo de
através de , tomando como a normal exterior à superfície fechada (isto é, a orientação deve ser a que aponta para fora do paralelepípedo quando a superfície estiver completa).
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método que vamos usar).
- Como
é uma superfície aberta (faltando a face superior), fica mais prático fechá-la adicionando a face em e aplicar o Teorema de Gauss (Teorema da Divergência) ao volume . Depois subtrai-se o fluxo através da face adicionada para obter o fluxo através de . - O Teorema de Gauss afirma o seguinte (fórmula e significado):
Aqui
é a superfície fechada que limita o volume
,
é a normal exterior, e
é a divergência de
, que mede a “taxa de saída” do campo por unidade de volume.
- Portanto primeiro calculamos a divergência de
.
Calcular a divergência.
Cada termo é:
Logo
Passo 3
Aplicar o Teorema de Gauss ao volume
.
- Pelo teorema,
- Calculamos o integral triplo sobre o paralelepípedo
:
- Avaliando:
portanto
Isto é, o fluxo total através da superfície fechada
(todas as seis faces, com normais apontando para fora) é
.
Passo 4
Calcular o fluxo através da face superior (a que adicionamos) por integral direta.
- A face superior está em
. Para a superfície fechada a normal exterior nessa face aponta para cima, isto é . - No plano
temos . - O produto escalar
. - A face superior tem área igual a
(pois varia em e em ). Portanto o fluxo pela face superior é
Também se pode ver como integral iterada:
Passo 5
Relacionar fluxos para obter o fluxo pedido através de
.
- Seja
o fluxo através de toda a superfície fechada (todas as seis faces). Seja o fluxo através da face superior (a que adicionamos). Seja o fluxo através da superfície original (as cinco faces restantes). - Tem-se a soma das contribuições:
- Substituindo os valores calculados:
- Assim