Fechando, de uma forma adequada, as superfícies abertas dadas e utilizando o Teorema de Gauss, calcule o fluxo do campo vec{F} através de S, com vec{n} exterior à superfície fechada.
vec{F}(x, y, z)=(x, y, z), onde S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, \quad z \leq 0.

Passo 1

O enunciado dá o campo de vetores \vec{F}(x,y,z)=(x,y,z) e a superfície S que é a parte da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2},\qquad z\le 0,
isto é, a semiesfera inferior de raio a. Pede-se o fluxo de \vec{F} através de S, tomando \vec{n} como a normal exterior à superfície fechada que será formada ao “fechar” S.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • \vec{F}(x,y,z)=(x,y,z).
  • S é a superfície esférica \{(x,y,z):x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2},\\ z\le 0\} (semiesfera inferior).
  • O problema exige fechar a superfície aberta e usar o Teorema de Gauss; quer-se o fluxo através de S com a normal apontando para fora do volume fechado.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação breve do porquê): como o enunciado mesmo indica “fechando … e utilizando o Teorema de Gauss”, vamos fechar a semiesfera inferior com o disco plano D no plano z=0, de raio a. Assim obtemos uma superfície fechada \Sigma=S\cup D que limita o volume V (o meio-bola inferior). Pelo Teorema de Gauss (ou Divergência) o fluxo total de \vec{F} através de \Sigma é igual à integral tripla da divergência de \vec{F} sobre V. Então:
\Phi_{\Sigma}=\iint_{\Sigma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{F})\,dV.
Depois, como \Sigma é a união de S (a semiesfera) e do disco D, vale
\Phi_{\Sigma}=\Phi_{S}+\Phi_{D},
onde \Phi_{S} é o fluxo pedido. Portanto
\Phi_{S}=\Phi_{\Sigma}-\Phi_{D}.

Passo 3

Relembrando o que é divergência e o Teorema de Gauss (didático): para um campo vetorial \vec{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}),
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z}.
O Teorema de Gauss diz que o fluxo total de \vec{F} através da superfície fechada \Sigma que envolve um volume V (com normal pontando para fora do volume) é igual à integral do divergente sobre V:
\iint_{\Sigma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{F})\,dV.
Aqui a orientação “normal exterior” é exatamente a que o Teorema de Gauss pede.

Passo 4

Calcular a divergência de \vec{F}. Como \vec{F}(x,y,z)=(x,y,z), temos
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=1+1+1=3.
Isto é simples e importante: a divergência é constante igual a 3.

Passo 5

Calcular o fluxo através da superfície fechada \Sigma usando o Teorema de Gauss:
\Phi_{\Sigma}=\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{F})\,dV=\iiint_{V} 3\,dV = 3\cdot \operatorname{Vol}(V).
O volume V é o da meia‑esfera inferior de raio a. O volume de uma esfera de raio a é \dfrac{4}{3}\pi a^{3}, logo o volume da metade é
\operatorname{Vol}(V)=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi a^{3}=\frac{2}{3}\pi a^{3}.
(Se preferir ver por cálculo em coordenadas esféricas: \operatorname{Vol}(V)=\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}\int_{0}^{a} r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta =2\pi\cdot 1\cdot \dfrac{a^{3}}{3}=\dfrac{2}{3}\pi a^{3}.)
Portanto
\Phi_{\Sigma}=3\cdot\frac{2}{3}\pi a^{3}=2\pi a^{3}.

Passo 6

Calcular o fluxo através do disco D (o fechamento em z=0). O disco é
D=\{(x,y,0):x^{2}+y^{2}\le a^{2}\}.
Devemos tomar a normal exterior ao volume V nesse disco. O volume está abaixo do plano z=0 (é a meia‑bola inferior), então a normal exterior no disco aponta no sentido positivo de z, isto é \vec{n}=\mathbf{k}=(0,0,1).
No disco z=0 o campo vale \vec{F}(x,y,0)=(x,y,0). Então o produto escalar é
\vec{F}\cdot\vec{n}=(x,y,0)\cdot(0,0,1)=0.
Logo o fluxo através do disco é zero:
\Phi_{D}=\iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=0.

Passo 7

Agora recuperamos o fluxo pedido pela relação \Phi_{S}=\Phi_{\Sigma}-\Phi_{D}. Substituindo os valores encontrados:
\Phi_{S}=2\pi a^{3}-0=2\pi a^{3}.
Portanto o fluxo de \vec{F} através da semiesfera inferior S, com a normal exterior ao volume fechado, vale 2\pi a^{3}.

Resposta

\displaystyle 2\pi a^{3}

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