Fechando, de uma forma adequada, as superfícies abertas dadas e utilizando o Teorema de Gauss, calcule o fluxo do campo
através de
, com
exterior à superfície fechada.
, onde
.
Passo 1
O enunciado dá o campo de vetores
e a superfície
que é a parte da esfera
isto é, a semiesfera inferior de raio
. Pede-se o fluxo de
através de
, tomando
como a normal exterior à superfície fechada que será formada ao “fechar”
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
. -
é a superfície esférica (semiesfera inferior). - O problema exige fechar a superfície aberta e usar o Teorema de Gauss; quer-se o fluxo através de
com a normal apontando para fora do volume fechado.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação breve do porquê): como o enunciado mesmo indica “fechando … e utilizando o Teorema de Gauss”, vamos fechar a semiesfera inferior com o disco plano
no plano
, de raio
. Assim obtemos uma superfície fechada
que limita o volume
(o meio-bola inferior). Pelo Teorema de Gauss (ou Divergência) o fluxo total de
através de
é igual à integral tripla da divergência de
sobre
. Então:
Depois, como
é a união de
(a semiesfera) e do disco
, vale
onde
é o fluxo pedido. Portanto
Passo 3
Relembrando o que é divergência e o Teorema de Gauss (didático): para um campo vetorial
,
O Teorema de Gauss diz que o fluxo total de
através da superfície fechada
que envolve um volume
(com normal pontando para fora do volume) é igual à integral do divergente sobre
:
Aqui a orientação “normal exterior” é exatamente a que o Teorema de Gauss pede.
Passo 4
Calcular a divergência de
. Como
, temos
Isto é simples e importante: a divergência é constante igual a
.
Passo 5
Calcular o fluxo através da superfície fechada
usando o Teorema de Gauss:
O volume
é o da meia‑esfera inferior de raio
. O volume de uma esfera de raio
é
, logo o volume da metade é
(Se preferir ver por cálculo em coordenadas esféricas:
.)
Portanto
Passo 6
Calcular o fluxo através do disco
(o fechamento em
). O disco é
Devemos tomar a normal exterior ao volume
nesse disco. O volume está abaixo do plano
(é a meia‑bola inferior), então a normal exterior no disco aponta no sentido positivo de
, isto é
.
No disco
o campo vale
. Então o produto escalar é
Logo o fluxo através do disco é zero:
Passo 7
Agora recuperamos o fluxo pedido pela relação
. Substituindo os valores encontrados:
Portanto o fluxo de
através da semiesfera inferior
, com a normal exterior ao volume fechado, vale
.