Um fio de cobre com área de seção transversal de 2,0 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} possui uma corrente de 2,0 A uniformemente distribuída por essa área. O fio possui 4,0 \mathrm{~m} de comprimento.
(a) Qual a intensidade do campo elétrico ao longo do fio?
(b) Quanta energia elétrica é transferida para energia térmica em 30 minutos?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) determinar a intensidade do campo elétrico ao longo do fio;
  • (b) calcular quanta energia elétrica é transferida para energia térmica em 30 minutos.
Informações fornecidas (peguei os números do enunciado):
  • Área da seção transversal: A = 2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.
  • Corrente no fio: I = 2{,}0\\ \mathrm{A}.
  • Comprimento do fio: L = 4{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Tempo pedido: t = 30\\ \text{min} = 30\cdot60 = 1800\\ \mathrm{s}.
Observação: o enunciado não deu explicitamente a resistividade do cobre, então vou usar o valor típico à temperatura ambiente para cobre: \rho = 1{,}7\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}. Vou indicar quando esse valor é usado.

Passo 2

Entender o que é densidade de corrente e como calculá‑la (passo preparatório).
  • Definição: a densidade de corrente \mathbf{J} (ou apenas J no caso escalar e uniforme) é a corrente elétrica por unidade de área perpendicular ao fluxo de corrente.
  • Fórmula: J=\frac{I}{A}.
  • Unidades: [J]=\mathrm{A\cdot m^{-2}}.
Calculemos J com os valores dados:
J=\frac{I}{A}=\frac{2{,}0}{2{,}0\times10^{-5}}.
Fazendo a conta passo a passo:
\frac{2{,}0}{2{,}0\times10^{-5}}=\frac{2{,}0}{2{,}0}\times10^{5}=1\times10^{5}.
Logo,
J=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{A\cdot m^{-2}}.

Passo 3

Relacionar densidade de corrente com campo elétrico (lei microscópica de Ohm).
  • Conceito: dentro de um condutor ôhmico (como o cobre em condições normais) a densidade de corrente é proporcional ao campo elétrico aplicado. Isso é escrito como
\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E},
onde \sigma é a condutividade (unidade \mathrm{S\cdot m^{-1}}=\Omega^{-1}\mathrm{m^{-1}}). A resistividade \rho é o inverso da condutividade: \rho=1/\sigma.
  • Reescrevendo para o módulo do campo elétrico (quando \mathbf{J} e \mathbf{E} têm a mesma direção):
E=\rho\,J.
Aqui E tem unidade \mathrm{V\cdot m^{-1}}.
Usarei a resistividade típica do cobre \rho=1{,}7\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m} (valor de referência à temperatura ambiente).

Passo 4

Calcular o campo elétrico E usando E=\rho J.
Substituindo os valores:
E=\rho J=(1{,}7\times10^{-8})\cdot(1{,}0\times10^{5}).
Fazendo a conta:
E=1{,}7\times10^{-8+5}=1{,}7\times10^{-3}\\ \mathrm{V\cdot m^{-1}}.
Interpretação física rápida: esse valor é muito pequeno — faz sentido, pois fios metálicos bons precisam de campos muito pequenos para conduzir correntes moderadas.

Passo 5

Calcular a resistência do fio (passo intermediário que vai facilitar a parte (b)).
  • Fórmula da resistividade para um fio cilíndrico uniforme:
R=\rho\frac{L}{A}.
  • Unidades: [R]=\Omega.
Substituindo os valores:
R=(1{,}7\times10^{-8})\frac{4{,}0}{2{,}0\times10^{-5}}.
Calculemos numericamente:
\frac{4{,}0}{2{,}0\times10^{-5}}=\frac{4{,}0}{2{,}0}\times10^{5}=2{,}0\times10^{5}.
Então
R=1{,}7\times10^{-8}\times2{,}0\times10^{5}=3{,}4\times10^{-3}\\ \Omega.

Passo 6

Calcular a potência dissipada em forma de calor (energia por unidade de tempo).
  • Fórmula (Lei de Joule): a potência térmica dissipada é
P=I^{2}R.
  • Alternativamente P=VI com V=IR ou P=E\,I\,L (porque V=EL); são equivalentes.
Calculemos:
P=I^{2}R=(2{,}0)^{2}\cdot(3{,}4\times10^{-3})=4{,}0\cdot3{,}4\times10^{-3}=13{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{W}.
Escrevendo com notação científica:
P=1{,}36\times10^{-2}\\ \mathrm{W}=0{,}0136\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Calcular a energia transferida em t=30\\ \text{min}=1800\\ \mathrm{s}.
  • Energia elétrica transformada em calor: W = P\,t.
Substituindo:
W = 0{,}0136\cdot1800.
Fazendo a multiplicação:
W = 24{,}48\\ \mathrm{J}.
Arredondamento e consistência com os algarismos significativos dos dados (os dados têm tipicamente 2 algarismos significativos): podemos apresentar o resultado como 24\\ \mathrm{J} (duas cifras) ou 24{,}5\\ \mathrm{J} se quisermos mais precisão. Vou manter os valores com uma precisão razoável mostrando o resultado calculado.

Passo 8

Resumo numérico (verificação rápida):
  • Campo elétrico ao longo do fio: E=1{,}7\times10^{-3}\\ \mathrm{V\cdot m^{-1}}.
  • Resistência total: R=3{,}4\times10^{-3}\\ \Omega.
  • Queda de potencial ao longo do fio: V=IR=2{,}0\cdot3{,}4\times10^{-3}=6{,}8\times10^{-3}\\ \mathrm{V} (consistente com E\cdot L=1{,}7\times10^{-3}\cdot4{,}0=6{,}8\times10^{-3}\\ \mathrm{V}).
  • Potência dissipada: P=0{,}0136\\ \mathrm{W}.
  • Energia em 30 minutos: W=24{,}48\\ \mathrm{J}.
Força final de incentivo: já está quase lá — esses cálculos são diretos quando a gente lembra das relações J=I/A, E=\rho J e P=I^2R. Vai dar tudo certo na prova!

Resposta

(a) E=1{,}7\times10^{-3}\\ \mathrm{V\cdot m^{-1}}\n
(b) W=24{,}48\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados