Um fio tem a forma de uma hélice circular parametrizada por
de
a
. Se a densidade linear no ponto (
) é
(onde
é uma constante), qual é a massa total do fio?
Passo 1
O enunciado pede a massa total de um fio cuja curva é dada por
para
variando de
até
. A densidade linear no ponto
é
, onde
é uma constante.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
A pergunta explícita é: qual é a massa total do fio?
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho): a massa
de um fio com densidade linear
ao longo de uma curva
é a integral da densidade em cada pedacinho de comprimento:
Se a curva é parametrizada por
, com
indo de
a
, então o diferencial de comprimento é
. Assim a fórmula prática para calcular é
Aqui
é a velocidade da partícula que percorre a curva; geometricamente dá o comprimento do vetor tangente por unidade de
.
Passo 3
Calcular a derivada da parametrização e seu módulo. Derivando componente a componente:
O módulo é
Como
, temos
Observação: esse módulo é constante ao longo da hélice — cada incremento unitário em
aumenta o comprimento por um fator
.
Passo 4
Avaliar a densidade ao longo da curva: substituímos a coordenada
da parametrização em
. Como em
temos
, obtemos
Passo 5
Montar a integral para a massa usando a fórmula do Passo 2, com os resultados dos passos anteriores:
Como
e
são constantes, podemos colocá-los fora da integral:
Passo 6
Calcular a integral
. A primitiva de
é
, logo
Substituindo na expressão de
:
Podemos simplificar
, obtendo uma forma alternativa