Um fio tem a forma de uma hélice circular parametrizada por \mathbf{r}(t)= \langle\cos t, \sin t, t\rangle de t=0 a t=\pi. Se a densidade linear no ponto ( x, y, z ) é \rho\left(x, y_{1} z\right)=k z (onde k é uma constante), qual é a massa total do fio?

Passo 1

O enunciado pede a massa total de um fio cuja curva é dada por \mathbf{r}(t)=\langle\cos t,\sin t,t\rangle para t variando de 0 até \pi. A densidade linear no ponto (x,y,z) é \rho(x,y,z)=k\,z, onde k é uma constante.
Informações relevantes:
\mathbf{r}(t)=\langle\cos t,\sin t,t\rangle,\qquad 0\le t\le\pi,
\rho(x,y,z)=k z.
A pergunta explícita é: qual é a massa total do fio?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho): a massa M de um fio com densidade linear \rho ao longo de uma curva C é a integral da densidade em cada pedacinho de comprimento:
M=\int_C \rho\,ds.
Se a curva é parametrizada por \mathbf{r}(t), com t indo de a a b, então o diferencial de comprimento é ds=|\mathbf{r}'(t)|\,dt. Assim a fórmula prática para calcular é
M=\int_a^b \rho\big(\mathbf{r}(t)\big)\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt.
Aqui |\mathbf{r}'(t)| é a velocidade da partícula que percorre a curva; geometricamente dá o comprimento do vetor tangente por unidade de t.

Passo 3

Calcular a derivada da parametrização e seu módulo. Derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=\langle -\sin t,\\ \cos t,\\\ 1\rangle.
O módulo é
|\mathbf{r}'(t)|=\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+1^2}=\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t+1}.
Como \sin^2 t+\cos^2 t=1, temos
|\mathbf{r}'(t)|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Observação: esse módulo é constante ao longo da hélice — cada incremento unitário em t aumenta o comprimento por um fator \sqrt{2}.

Passo 4

Avaliar a densidade ao longo da curva: substituímos a coordenada z da parametrização em \rho(x,y,z)=kz. Como em \mathbf{r}(t) temos z(t)=t, obtemos
\rho\big(\mathbf{r}(t)\big)=k\,t.

Passo 5

Montar a integral para a massa usando a fórmula do Passo 2, com os resultados dos passos anteriores:
M=\int_{0}^{\pi} \rho\big(\mathbf{r}(t)\big)\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt =\int_{0}^{\pi} (k\,t)\cdot\sqrt{2}\;dt.
Como k e \sqrt{2} são constantes, podemos colocá-los fora da integral:
M=k\sqrt{2}\int_{0}^{\pi} t\,dt.

Passo 6

Calcular a integral \displaystyle\int_{0}^{\pi} t\,dt. A primitiva de t é t^2/2, logo
\int_{0}^{\pi} t\,dt=\left[\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi^2}{2}-0=\frac{\pi^2}{2}.
Substituindo na expressão de M:
M=k\sqrt{2}\cdot\frac{\pi^2}{2}=\frac{k\pi^2\sqrt{2}}{2}.
Podemos simplificar \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, obtendo uma forma alternativa
M=\frac{k\pi^2}{\sqrt{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{k\pi^2}{\sqrt{2}}

Exercícios relacionados