Foi feito um estudo para conhecer algumas características de alunos de certa faixa etária de um colégio. Entre as características estudadas está a “altura dos alunos”, observando-se que ela seguia a distribuição normal, com média 172 cm e desvio padrão de 5 cm . Qual a probabilidade de um aluno selecionado ao acaso ter altura:
entre 167 cm e 177 cm ?
entre 167 cm e 177 cm ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A altura dos alunos segue distribuição normal com média
cm e desvio padrão cm. - Pergunta-se a probabilidade de um aluno selecionado ao acaso ter altura entre
cm e cm, isto é, calcular
onde
denota a altura de um aluno.
Passo 2
Vamos entender a ideia central: quando
segue uma normal
, é conveniente transformar
numa variável normal padrão
com média
e desvio
. A padronização é dada por
Explicação didática: a padronização subtrai a média (para centralizar em zero) e divide pelo desvio padrão (para medir quantos desvios padrão um valor está longe da média). Depois de padronizar, usamos uma tabela ou função que dá
para a normal padrão.
Passo 3
Vamos calcular os valores padronizados (os
-scores) das duas extremidades
e
.
Primeiro para
:
Agora para
:
Portanto
Passo 4
Usando a função de distribuição acumulada
da normal padrão:
Pela simetria da normal padrão vale
. Substituindo:
Passo 5
Agora precisamos do valor de
. Pela tabela da normal padrão (ou por valor conhecido), tem-se
.
Substituindo:
Interpretação prática e dica para prova: isso significa que aproximadamente
dos alunos têm altura entre
cm e
cm. Esse resultado também coincide com a “regra empírica” da distribuição normal que diz: cerca de
dos valores ficam dentro de
desvio padrão da média.