Foi feito um estudo para conhecer algumas características de alunos de certa faixa etária de um colégio. Entre as características estudadas está a “altura dos alunos”, observando-se que ela seguia a distribuição normal, com média 172 cm e desvio padrão de 5 cm . Qual a probabilidade de um aluno selecionado ao acaso ter altura:
entre 167 cm e 177 cm ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A altura dos alunos segue distribuição normal com média \mu=172 cm e desvio padrão \sigma=5 cm.
  • Pergunta-se a probabilidade de um aluno selecionado ao acaso ter altura entre 167 cm e 177 cm, isto é, calcular
P(167 \le X \le 177),
onde X denota a altura de um aluno.

Passo 2

Vamos entender a ideia central: quando X segue uma normal \,X\sim N(\mu,\sigma^2)\,, é conveniente transformar X numa variável normal padrão Z com média 0 e desvio 1. A padronização é dada por
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Explicação didática: a padronização subtrai a média (para centralizar em zero) e divide pelo desvio padrão (para medir quantos desvios padrão um valor está longe da média). Depois de padronizar, usamos uma tabela ou função que dá \Phi(z)=P(Z\le z) para a normal padrão.

Passo 3

Vamos calcular os valores padronizados (os z-scores) das duas extremidades 167 e 177.
Primeiro para 167:
z_1=\frac{167-172}{5}=\frac{-5}{5}=-1.
Agora para 177:
z_2=\frac{177-172}{5}=\frac{5}{5}=1.
Portanto
P(167 \le X \le 177)=P(-1 \le Z \le 1).

Passo 4

Usando a função de distribuição acumulada \Phi da normal padrão:
P(-1 \le Z \le 1)=\Phi(1)-\Phi(-1).
Pela simetria da normal padrão vale \Phi(-1)=1-\Phi(1). Substituindo:
\Phi(1)-\Phi(-1)=\Phi(1)-\bigl(1-\Phi(1)\bigr)=2\Phi(1)-1.

Passo 5

Agora precisamos do valor de \Phi(1). Pela tabela da normal padrão (ou por valor conhecido), tem-se \Phi(1)\approx 0,8413.
Substituindo:
P(-1\le Z\le 1)=2\cdot 0,8413 - 1 = 1,6826 - 1 = 0,6826.
Interpretação prática e dica para prova: isso significa que aproximadamente 68{,}26\% dos alunos têm altura entre 167 cm e 177 cm. Esse resultado também coincide com a “regra empírica” da distribuição normal que diz: cerca de 68\% dos valores ficam dentro de \pm 1 desvio padrão da média.

Resposta

0,6826 \approx 68,26\%

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