Foi feito um estudo para conhecer algumas características de alunos de certa faixa etária de um colégio. Entre as características estudadas está a “altura dos alunos”, observando-se que ela seguia a distribuição normal, com média 172 cm e desvio padrão de 5 cm . Qual a probabilidade de um aluno selecionado ao acaso ter altura:
entre 157 cm e 187 cm ?
entre 157 cm e 187 cm ?
Passo 1
O enunciado dá que a altura dos alunos segue uma distribuição normal com média
cm e desvio padrão
cm. A pergunta é: qual a probabilidade de um aluno selecionado ao acaso ter altura entre
cm e
cm?
Informações relevantes fornecidas:
-
(média em cm). -
(desvio padrão em cm). - Queremos
, onde é a altura aleatória.
Passo 2
Vamos transformar o problema para a distribuição normal padrão. Primeiro explico a ferramenta que vamos usar: o escore-z (z-score).
Definição e ideia por trás do z-score:
Aqui:
-
é a variável aleatória original (altura em cm). -
é a média da distribuição (em cm). -
é o desvio padrão (em cm).
O z-score indica quantos desvios-padrão um valorestá acima (positivo) ou abaixo (negativo) da média. Ao transformar em obtemos uma variável com distribuição normal padrão, com média e desvio padrão , para a qual existem tabelas (ou calculadoras) que dão probabilidades.
Passo 3
Calcular o z correspondente ao limite inferior
cm.
Interpretação:
cm fica
desvios-padrão abaixo da média.
Passo 4
Calcular o z correspondente ao limite superior
cm.
Interpretação:
cm fica
desvios-padrão acima da média.
Passo 5
Agora reescrevemos a probabilidade pedida em termos de
:
Para a normal padrão usamos a função de distribuição acumulada
. Assim
Pela simetria da normal padrão vale
. Aplicando isso:
Passo 6
Usar o valor tabelado (ou calculadora) para
. A tabela da normal padrão dá
Portanto
Em porcentagem isso é aproximadamente
.
Observação intuitiva (regra empírica): para uma normal, cerca de
dos valores caem dentro de
desvios-padrão da média — isto confirma o resultado numérico.
Passo 7
Interpretação final e incentivo: o resultado indica que é extremamente provável (praticamente certo) que um aluno dessa população tenha altura entre
cm e
cm — cerca de
. Bom trabalho chegando até aqui; essa técnica de padronizar com o z-score e usar
é muito útil para questões de prova.