Foi feito um estudo para conhecer algumas características de alunos de certa faixa etária de um colégio. Entre as características estudadas está a “altura dos alunos”, observando-se que ela seguia a distribuição normal, com média 172 cm e desvio padrão de 5 cm . Qual a probabilidade de um aluno selecionado ao acaso ter altura:
entre 157 cm e 187 cm ?

Passo 1

O enunciado dá que a altura dos alunos segue uma distribuição normal com média \mu=172 cm e desvio padrão \sigma=5 cm. A pergunta é: qual a probabilidade de um aluno selecionado ao acaso ter altura entre 157 cm e 187 cm?
Informações relevantes fornecidas:
  • \mu=172 (média em cm).
  • \sigma=5 (desvio padrão em cm).
  • Queremos P(157 \le X \le 187), onde X é a altura aleatória.

Passo 2

Vamos transformar o problema para a distribuição normal padrão. Primeiro explico a ferramenta que vamos usar: o escore-z (z-score).
Definição e ideia por trás do z-score:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui:
  • X é a variável aleatória original (altura em cm).
  • \mu é a média da distribuição (em cm).
  • \sigma é o desvio padrão (em cm).
    O z-score indica quantos desvios-padrão um valor X está acima (positivo) ou abaixo (negativo) da média. Ao transformar X em Z obtemos uma variável com distribuição normal padrão, com média 0 e desvio padrão 1, para a qual existem tabelas (ou calculadoras) que dão probabilidades.

Passo 3

Calcular o z correspondente ao limite inferior 157 cm.
z_{\text{inf}}=\frac{157-\mu}{\sigma}=\frac{157-172}{5}=\frac{-15}{5}=-3.
Interpretação: 157 cm fica 3 desvios-padrão abaixo da média.

Passo 4

Calcular o z correspondente ao limite superior 187 cm.
z_{\text{sup}}=\frac{187-\mu}{\sigma}=\frac{187-172}{5}=\frac{15}{5}=3.
Interpretação: 187 cm fica 3 desvios-padrão acima da média.

Passo 5

Agora reescrevemos a probabilidade pedida em termos de Z:
P(157 \le X \le 187)=P\!\left(-3 \le Z \le 3\right).
Para a normal padrão usamos a função de distribuição acumulada \Phi(z)=P(Z\le z). Assim
P(-3\le Z\le 3)=\Phi(3)-\Phi(-3).
Pela simetria da normal padrão vale \Phi(-a)=1-\Phi(a). Aplicando isso:
\Phi(3)-\Phi(-3)=\Phi(3)-(1-\Phi(3))=2\Phi(3)-1.

Passo 6

Usar o valor tabelado (ou calculadora) para \Phi(3). A tabela da normal padrão dá
\Phi(3)\approx 0,99865.
Portanto
P(-3\le Z\le 3)=2\cdot 0,99865 - 1 = 1,99730 - 1 = 0,99730.
Em porcentagem isso é aproximadamente 99,73\%.
Observação intuitiva (regra empírica): para uma normal, cerca de 99{,}7\% dos valores caem dentro de \pm 3 desvios-padrão da média — isto confirma o resultado numérico.

Passo 7

Interpretação final e incentivo: o resultado indica que é extremamente provável (praticamente certo) que um aluno dessa população tenha altura entre 157 cm e 187 cm — cerca de 99{,}73\%. Bom trabalho chegando até aqui; essa técnica de padronizar com o z-score e usar \Phi é muito útil para questões de prova.

Resposta

0,99730 \approx 99,73\%

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