Foram fornecidos os dados a seguir para a velocidade de um objeto como função do tempo,
\mathrm{t}, \mathrm{s} 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36
\mathrm{v}, \mathrm{m} / \mathrm{s} 0 34,7 61,8 82,8 99,2 112,0 121,9 129,7 135,7 140,4
Que distância o objeto percorre de \mathrm{t}=0 a 28s?

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela com a velocidade do objeto em diversos instantes. Os dados relevantes que vamos usar são:\n
Tempo (s): 0,\;4,\;8,\;12,\;16,\;20,\;24,\;28.\n
Velocidade (m/s) — extraída da tabela: v(0)=0,\;v(4)=34,7,\;v(8)=61,8,\;v(12)=82,8,\;v(16)=99,2,\;v(20)=112,0,\;v(24)=121,9,\;v(28)=129,7.\n
A pergunta que o enunciado faz é: “Que distância o objeto percorre de t=0 a t=28\\ \mathrm{s}?”

Passo 2

Entendendo o que é pedido (intuição): a distância percorrida entre dois instantes é a área sob o gráfico v(t) entre esses instantes. Matematicamente isso é a integral
\text{distância}=\int_{0}^{28} v(t)\,dt.â
Como temos apenas valores discretos de v (não uma fórmula), vamos aproximar essa integral numericamente. Vou usar a regra do trapézio composta porque é simples, direta e adequada quando temos valores igualmente espaçados em t (aqui o espaçamento é constante 4\\ \mathrm{s}). Escolhi trapézio composta por ser método básico e fácil de aplicar à mão numa prova, e porque os pontos estão igualmente espaçados.

Passo 3

Explicando a regra do trapézio composta (aula rápida): divida o intervalo [0,28] em n subintervalos de tamanho h. Aqui h=4\\ \mathrm{s} e temos n=7 subintervalos. Em cada subintervalo [t_i,t_{i+1}] aproximamos a área sob v(t) por um trapézio cuja área é
\text{Área do trapézio}=\frac{h}{2}\bigl(v(t_i)+v(t_{i+1})\bigr).Áé
Somando todos os trapézios (regra composta) obtemos a fórmula compacta
\int_{0}^{28} v(t)\,dt \approx h\left(\tfrac{1}{2}v_0 + v_1 + v_2 + \cdots + v_{n-1} + \tfrac{1}{2}v_n\right),
onde v_k=v(t_k) e t_k=0+kh.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso: h=4\\ \mathrm{s}, v_0=0, v_1=34,7, v_2=61,8, v_3=82,8, v_4=99,2, v_5=112,0, v_6=121,9, v_7=129,7.\n
Primeiro somamos os termos interiores v_1 a v_6:
34,7+61,8=96,5,
96,5+82,8=179,3,
179,3+99,2=278,5,
278,5+112,0=390,5,
390,5+121,9=512,4.
Agora somamos as meias extremidades:
\tfrac{1}{2}v_0+\tfrac{1}{2}v_7=0+\tfrac{1}{2}\cdot129,7=64,85.
Somando tudo dentro do parêntese:
512,4+64,85=577,25.

Passo 5

Multiplicamos pelo passo h=4\\ \mathrm{s} para obter a distância aproximada:
\text{distância}\approx 4\cdot 577,25 = 2309,0\\ \mathrm{m}.â
Interpretação: o objeto percorreu aproximadamente 2309,0\\ \mathrm{m} entre t=0 e t=28\\ \mathrm{s}. Bom resultado para uma aproximação por trapézios com os dados fornecidos.

Resposta

2309,0\\ \mathrm{m}

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