Foram fornecidos os dados a seguir para a velocidade de um objeto como função do tempo,
\mathrm{t}, \mathrm{s} 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36
\mathrm{v}, \mathrm{m} / \mathrm{s} 0 34,7 61,8 82,8 99,2 112,0 121,9 129,7 135,7 140,4
Qual é a aceleração do objeto em t=28 \mathrm{~s} ?

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com instantes de tempo e velocidades e pergunta a aceleração em t=28\\ \mathrm{s}. As informações relevantes (tiradas da tabela fornecida) são:\n
\begin{array}{l|llllllllll} t\\ (\mathrm{s}) & 0 & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 & 24 & 28 & 32 & 36\\hline v\\ (\mathrm{m/s}) & 0 & 34,7 & 61,8 & 82,8 & 99,2 & 112,0 & 121,9 & 129,7 & 135,7 & 140,4 \end{array}
Pergunta: Qual é a aceleração do objeto em t=28\\ \mathrm{s}?

Passo 2

O que é aceleração aqui? A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Em termos matemáticos, para uma função velocidade v(t) definimos a aceleração instantânea por
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Isto significa: pego uma pequena variação de velocidade \Delta v em um pequeno intervalo de tempo \Delta t e faço a razão \Delta v/\Delta t; no limite quando \Delta t\to0 obtenho a(t). Na prática de prova, com dados discretos, aproximamos essa derivada por diferenças finitas (proxies da derivada).

Passo 3

Métodos de aproximação com dados discretos (explicação simples):
  • Diferença progressiva (forward): \displaystyle a(t)\approx\frac{v(t+h)-v(t)}{h}. Usa o ponto atual e o seguinte. É menos preciso porque é assimétrico.
  • Diferença regressiva (backward): \displaystyle a(t)\approx\frac{v(t)-v(t-h)}{h}. Usa o ponto atual e o anterior.
  • Diferença central (central difference): \displaystyle a(t)\approx\frac{v(t+h)-v(t-h)}{2h}. Usa um ponto à frente e um atrás; é geralmente mais precisa (erro de ordem h^2 para dados suaves).
Como queremos a melhor estimativa simples e temos valores nos instantes simétricos em torno de 28\\ \mathrm{s} (isto é, 24\\ \mathrm{s} e 32\\ \mathrm{s}), vamos usar a diferença central.

Passo 4

Observe o espaçamento dos tempos na tabela: os instantes estão a cada 4\\ \mathrm{s}. Portanto tomo h=4\\ \mathrm{s}. Para t=28\\ \mathrm{s} preciso de v(24) e v(32), que peguei da tabela:
v(24)=121,9\\ \mathrm{m/s},\qquad v(32)=135,7\\ \mathrm{m/s}.
Eu declarei explicitamente esses valores porque estão na tabela do enunciado.

Passo 5

Aplicando a fórmula da diferença central:
a(28)\approx\frac{v(28+h)-v(28-h)}{2h}=\frac{v(32)-v(24)}{2\cdot 4}.
Agora faço as contas passo a passo (todos os números em notação da tabela):
v(32)-v(24)=135,7-121,9=13,8.
O denominador é
2h=2\cdot 4=8.
Logo
a(28)\approx\frac{13,8}{8}=1,725\\ \mathrm{(m/s^2)}.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, para ver consistência): as diferenças progressiva e regressiva dão
\text{forward: }\frac{v(32)-v(28)}{4}=\frac{135,7-129,7}{4}=\frac{6,0}{4}=1,50,
\text{backward: }\frac{v(28)-v(24)}{4}=\frac{129,7-121,9}{4}=\frac{7,8}{4}=1,95.
A diferença central é a média dessas duas: (1,50+1,95)/2=1,725, o que confirma o cálculo anterior. A unidade, como sempre, é \mathrm{m/s^2}.

Passo 7

Arredondando para uma precisão razoável dada a tabela (duas casas decimais), temos
a(28)\approx1,73\\ \mathrm{m/s^2}.
Força aí — você já conseguiu extrair a aceleração de dados discretos usando diferenciação numérica!

Resposta

a(28\\ \mathrm{s})=1,73\\ \mathrm{m/s^2}