Forneça a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s) a seguir.
e
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais de segunda ordem
e
.
Dados relevantes: a função é um polinômio em e
(portanto suave), e devemos aplicar derivação parcial em relação a
e
.
Dados relevantes: a função é um polinômio em
Passo 2
Conceitos e regras que vamos usar (bem mastigado):
- Derivada parcial em relação a
: trata-se de derivar em mantendo constante. Notação: . - Derivada parcial em relação a
: deriva em mantendo constante. Notação: . - Regra do fator constante: se uma expressão é
onde não depende da variável que derivamos, então . - Regra da potência (power rule): para uma variável
, . - Produto de polinômios aqui aparece como constante multiplicando potências da variável que diferenciamos (ex.:
visto como quando derivamos em ).
Como a função é polinomial, todas as derivadas existem e as mistase devem coincidir (teorema de Clairaut) — vamos verificar isso nos cálculos.
Passo 3
Calcular
(derivada parcial de primeira ordem em
), tratando
como constante.
Termo a termo:
- Para
: tratar como . Aplicando a regra da potência em :
- Para
: tratar como . Derivando em :
Somando:
Passo 4
A partir de
calculamos
e
.
Para
:
- Derivando
em : é constante, então . - Derivando
em : é constante multiplicando , então deriva para .
Logo
Para
:
- Derivando
em : é constante, aplicar potência em : . - Derivando
em : é constante, derivada de é , logo .
Somando:
Passo 5
Calcular
(derivada parcial de primeira ordem em
), tratando
como constante.
Termo a termo:
- Para
: tratar como . Derivando em :
- Para
: tratar como . Derivando em :
Somando:
Passo 6
A partir de
calculamos
e
.
Para
:
- Derivando
em : . - Derivando
em : .
Logo
Observação: isso coincide com
calculado no Passo 4, como esperado.
Para
:
- Derivando
em : . - Derivando
em : zero (não depende de ).
Logo