Forneça a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s) a seguir.
f(x, y)=x^{3} y^{5}+2 x^{2} y ; f_{x x}, f_{x y}, f_{y x} e f_{y y}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{3}y^{5}+2x^{2}y
e pede as derivadas parciais de segunda ordem \,f_{xx},\,f_{xy},\,f_{yx} e \,f_{yy}.
Dados relevantes: a função é um polinômio em x e y (portanto suave), e devemos aplicar derivação parcial em relação a x e y.

Passo 2

Conceitos e regras que vamos usar (bem mastigado):
  • Derivada parcial em relação a x: trata-se de derivar em x mantendo y constante. Notação: f_x=\dfrac{\partial f}{\partial x}.
  • Derivada parcial em relação a y: deriva em y mantendo x constante. Notação: f_y=\dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Regra do fator constante: se uma expressão é c\cdot g(x) onde c não depende da variável que derivamos, então \dfrac{d}{dx}[c\cdot g(x)]=c\cdot g'(x).
  • Regra da potência (power rule): para uma variável t, \dfrac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1}.
  • Produto de polinômios aqui aparece como constante multiplicando potências da variável que diferenciamos (ex.: x^{3}y^{5} visto como y^{5}\cdot x^{3} quando derivamos em x).
    Como a função é polinomial, todas as derivadas existem e as mistas f_{xy} e f_{yx} devem coincidir (teorema de Clairaut) — vamos verificar isso nos cálculos.

Passo 3

Calcular \,f_x (derivada parcial de primeira ordem em x), tratando y como constante.
Termo a termo:
  • Para x^{3}y^{5}: tratar como y^{5}\cdot x^{3}. Aplicando a regra da potência em x:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}y^{5}\big)=y^{5}\cdot \frac{d}{dx}x^{3}=y^{5}\cdot 3x^{2}=3x^{2}y^{5}.
  • Para 2x^{2}y: tratar como (2y)\cdot x^{2}. Derivando em x:
\frac{\partial}{\partial x}\big(2x^{2}y\big)=2y\cdot\frac{d}{dx}x^{2}=2y\cdot 2x=4xy.
Somando:
f_x=3x^{2}y^{5}+4xy.

Passo 4

A partir de f_x calculamos f_{xx} e f_{xy}.
Para f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_x):
  • Derivando 3x^{2}y^{5} em x: y^{5} é constante, então 3\cdot 2x\cdot y^{5}=6xy^{5}.
  • Derivando 4xy em x: 4y é constante multiplicando x, então deriva para 4y.
    Logo
f_{xx}=6xy^{5}+4y.
Para f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_x):
  • Derivando 3x^{2}y^{5} em y: 3x^{2} é constante, aplicar potência em y: 3x^{2}\cdot 5y^{4}=15x^{2}y^{4}.
  • Derivando 4xy em y: 4x é constante, derivada de y é 1, logo 4x.
    Somando:
f_{xy}=15x^{2}y^{4}+4x.

Passo 5

Calcular \,f_y (derivada parcial de primeira ordem em y), tratando x como constante.
Termo a termo:
  • Para x^{3}y^{5}: tratar como x^{3}\cdot y^{5}. Derivando em y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}y^{5}\big)=x^{3}\cdot\frac{d}{dy}y^{5}=x^{3}\cdot 5y^{4}=5x^{3}y^{4}.
  • Para 2x^{2}y: tratar como 2x^{2}\cdot y. Derivando em y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(2x^{2}y\big)=2x^{2}\cdot\frac{d}{dy}y=2x^{2}.
Somando:
f_y=5x^{3}y^{4}+2x^{2}.

Passo 6

A partir de f_y calculamos f_{yx} e f_{yy}.
Para f_{yx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_y):
  • Derivando 5x^{3}y^{4} em x: 5\cdot 3x^{2}\cdot y^{4}=15x^{2}y^{4}.
  • Derivando 2x^{2} em x: 4x.
    Logo
f_{yx}=15x^{2}y^{4}+4x.
Observação: isso coincide com f_{xy} calculado no Passo 4, como esperado.
Para f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_y):
  • Derivando 5x^{3}y^{4} em y: 5x^{3}\cdot 4y^{3}=20x^{3}y^{3}.
  • Derivando 2x^{2} em y: zero (não depende de y).
    Logo
f_{yy}=20x^{3}y^{3}.

Resposta

f_{xx}=6xy^{5}+4y
f_{xy}=15x^{2}y^{4}+4x
f_{yx}=15x^{2}y^{4}+4x
f_{yy}=20x^{3}y^{3}

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