Forneça a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s) a seguir.
e
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais mistas e segunda derivada em
:
e
.
Informações relevantes: domínio implícito (pois o denominador não pode ser zero). Não foi pedido nada mais.
Informações relevantes: domínio implícito
Passo 2
Vamos lembrar e explicar as regras que usaremos (sem pular etapas). Quando queremos a derivada parcial em relação a uma variável, tratamos a outra como constante. Para funções na forma de quociente
a derivada parcial em relação a, por exemplo,
usa a regra do quociente (análogo à derivada de uma função de uma variável): se
e
dependem de
e
, então
onde
e
. Cada termo é obtido derivando-se apenas em relação a
, mantendo
constante. Também usaremos a regra da cadeia quando escrevermos potências de
, por exemplo
, cuja derivada em relação a
é
.
Passo 3
Calcular
(primeira derivada parcial em
), pois é preciso para obter
. Identificamos
Derivando em relação a
(com
constante):
Aplicando a regra do quociente:
Agora simplificamos o numerador:
Portanto
Passo 4
Calcular
: a derivada parcial de
em relação a
. Já temos
. Para derivar em relação a
é conveniente escrever como produto com potência:
Agora aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia (tratando
como constante):
derivada de em relação a
é
; derivada de
em relação a
é
(porque
). Assim,
derivada de
Colocando em denominador comum
:
Portanto
Passo 5
Calcular
(primeira derivada parcial em
), pois é a base para
. Podemos derivar o quociente original em relação a
. Tome
Derivando em relação a
(com
constante):
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Logo
Passo 6
Calcular
: derivada parcial de
em relação a
. Como
, trata-se de derivar
em relação a
, com
constante.
é uma constante relativo a
, então:
Portanto