Forneça a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s) a seguir.
f(x, y)=\frac{x y}{x+y} ; f_{x y} e f_{y y}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x,y)=\frac{xy}{x+y} e pede as derivadas parciais mistas e segunda derivada em y: f_{xy} e f_{yy}.
Informações relevantes: domínio implícito \{(x,y)\mid x+y\neq0\} (pois o denominador não pode ser zero). Não foi pedido nada mais.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar as regras que usaremos (sem pular etapas). Quando queremos a derivada parcial em relação a uma variável, tratamos a outra como constante. Para funções na forma de quociente
\frac{u(x,y)}{v(x,y)},
a derivada parcial em relação a, por exemplo, x usa a regra do quociente (análogo à derivada de uma função de uma variável): se u e v dependem de x e y, então
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u_x\,v-u\,v_x}{v^2},
onde u_x=\partial u/\partial x e v_x=\partial v/\partial x. Cada termo é obtido derivando-se apenas em relação a x, mantendo y constante. Também usaremos a regra da cadeia quando escrevermos potências de v, por exemplo (v)^{-2}, cuja derivada em relação a y é -2(v)^{-3}\cdot v_y.

Passo 3

Calcular f_x (primeira derivada parcial em x), pois é preciso para obter f_{xy}. Identificamos
u(x,y)=xy,\qquad v(x,y)=x+y.
Derivando em relação a x (com y constante):
u_x = \frac{\partial}{\partial x}(xy)=y,
v_x = \frac{\partial}{\partial x}(x+y)=1.
Aplicando a regra do quociente:
f_x=\frac{u_x v - u v_x}{v^2}=\frac{y(x+y)-xy\cdot 1}{(x+y)^2}.
Agora simplificamos o numerador:
y(x+y)-xy = yx + y^2 - xy = y^2.
Portanto
\boxed{\,f_x=\frac{y^2}{(x+y)^2}\,}.

Passo 4

Calcular f_{xy}: a derivada parcial de f_x em relação a y. Já temos f_x=\dfrac{y^2}{(x+y)^2}. Para derivar em relação a y é conveniente escrever como produto com potência:
f_x = y^2\,(x+y)^{-2}.
Agora aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia (tratando x como constante):
derivada de y^2 em relação a y é 2y; derivada de (x+y)^{-2} em relação a y é -2(x+y)^{-3}\cdot 1 (porque \frac{d}{dy}(x+y)=1). Assim,
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\big(y^2 (x+y)^{-2}\big) = 2y\,(x+y)^{-2} + y^2\big(-2\big)(x+y)^{-3}.
Colocando em denominador comum (x+y)^3:
f_{xy}=\frac{2y(x+y)-2y^2}{(x+y)^3} =\frac{2yx+2y^2-2y^2}{(x+y)^3} =\frac{2xy}{(x+y)^3}.
Portanto
\boxed{\,f_{xy}=\frac{2xy}{(x+y)^3}\,}.

Passo 5

Calcular f_y (primeira derivada parcial em y), pois é a base para f_{yy}. Podemos derivar o quociente original em relação a y. Tome
u(x,y)=xy,\qquad v(x,y)=x+y.
Derivando em relação a y (com x constante):
u_y=\frac{\partial}{\partial y}(xy)=x,
v_y=\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1.
Aplicando a regra do quociente:
f_y=\frac{u_y v - u v_y}{v^2}=\frac{x(x+y)-xy\cdot 1}{(x+y)^2}.
Simplificando o numerador:
x(x+y)-xy = x^2 + xy - xy = x^2.
Logo
\boxed{\,f_y=\frac{x^2}{(x+y)^2}\,}.

Passo 6

Calcular f_{yy}: derivada parcial de f_y em relação a y. Como f_y=\dfrac{x^2}{(x+y)^2}, trata-se de derivar x^2\,(x+y)^{-2} em relação a y, com x constante. x^2 é uma constante relativo a y, então:
f_{yy}=x^2\cdot \frac{d}{dy}\big((x+y)^{-2}\big) = x^2\cdot(-2)(x+y)^{-3}\cdot 1 = \frac{-2x^2}{(x+y)^3}.
Portanto
\boxed{\,f_{yy}=-\frac{2x^2}{(x+y)^3}\,}.

Resposta

f_{xy}=\dfrac{2xy}{(x+y)^3}
f_{yy}=-\dfrac{2x^2}{(x+y)^3}

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