Por que a função
é contínua em ( 1,7 )?
Passo 1
O enunciado que você me deu é curto: “Por que a função
é contínua em ( 1,7 )?”
Informações que temos:
Informações que temos:
- A única coisa escrita é essa frase. Não foi dada a expressão de
nem o contexto (se é um ponto no domínio unidimensional — isto é, se o autor quis dizer com — ou se é um ponto em para uma função de duas variáveis cuja imagem naquele ponto é desconhecida). - O que o enunciado pede é uma justificativa de continuidade em
.
Conclusão imediata: com a informação atual NÃO É POSSÍVEL provar de forma única que
é contínua em
, porque falta a definição de
. Vou, então, explicar de forma didática o que significa "ser contínua em
", quais são os testes e estratégias padrão para justificar continuidade, e mostrar exemplos concretos (passo a passo) que você pode usar na prova dependendo do tipo de função que aparecer.
Passo 2
O que significa “contínua” — versão univariada (caso mais provável)
- Se
é uma função de uma variável real para reais, isto é , e temos um ponto tal que , então a definição padrão é:
- Explicando a definição epsilon–delta (a forma rigorosa): dizer que
significa:
Aqui cada símbolo significa:
é a tolerância que quero para a imagem;
é a tolerância que escolho para a entrada; a implicação garante que pontos suficientemente próximos de
são levados para dentro do intervalo de raio
em torno de
.
Passo 3
O que significa “contínua” — versão multivariada (se
for um ponto do domínio em
)
- Se
é uma função de duas variáveis e queremos continuidade em , a definição é análoga:
- Em forma epsilon–delta:
A diferença essencial é que, em duas variáveis, as aproximações podem vir por qualquer direção no plano — por isso os limites devem ser iguais vindo de todas as direções.
Passo 4
Critérios práticos e teoremas que facilitam a prova (coisa que o professor adora que você use na prova)
- Teorema de manutenção: somas, produtos e composições de funções contínuas são contínuas. Ou seja, se
e são contínuas em , então e são contínuas em . - Funções elementares tipicamente contínuas: polinômios, funções exponenciais, senos, cossenos, raízes (onde definidas), razões entre polinômios (onde denominador não zera). Assim, se
for um polinômio ou uma combinação dessas, geralmente basta observar que cada pedaço é contínuo e aplicar as regras acima. - Critério sequencial:
é contínua em se, e somente se, para toda sequência com vale . Às vezes é mais simples usar sequências na prova.
Passo 5
Exemplo concreto (passo a passo) — caso univariado: provar continuidade de uma função linear que vale
em
- Suponha que
. Observe que . Vamos provar que é contínua em . - Método rápido por propriedades de limite: limites preservam soma e produto, e
. Então
Logo
e
é contínua em
.
- Demonstração epsilon–delta (a “mão na massa”) para fixar a ideia: dado
queremos tal que, se , então .
Calcule:
Portanto, se escolhermos
, então
implica
. Isso prova a continuidade por definição epsilon–delta.
- Moral: para funções lineares (e polinômios em geral) a prova é super direta. Em prova de faculdade, basta citar que polinômios são contínuos em todo ponto.
Passo 6
Exemplo concreto (passo a passo) — caso multivariado simples
- Suponha
. Então é contínua em todo ponto de por ser soma de projeções contínuas. Por exemplo, em tem-se e
- Se você tiver uma função de duas variáveis que seja polinomial em
e , basta usar o mesmo raciocínio: polinômios multivariáveis são contínuos onde definidos.
Passo 7
Como usar isso na sua prova (guia rápido quando o enunciado te der
e pedir continuidade em
)
- Passo A: identificar se
é o par do domínio ou se é a afirmação . Normalmente o autor quer dizer: provar que é contínua em e (ou provar que é contínua no ponto do domínio, no caso multivariado). - Passo B: se
for polinomial, racional (com denominador não nulo), exponencial, trigonométrica, etc., use o teorema das operações contínuas: cite que as partes são contínuas e conclua. - Passo C: se
for definida por partes ou algo mais complicado, verifique e (no univariado) ou verifique limites por direções (no multivariado). Se necessário, use epsilon–delta ou sequência para justificar. - Passo D: concluída a demonstração de que
existe e é igual a (ou ), escreva a conclusão: "Logo é contínua em ".
Resposta
Não é possível verificar que
é contínua em
porque a definição explícita de
não foi fornecida; falta informação.
Critério geral (univariado): é contínua em
(interpretando como
) se
.
Critério geral (multivariado): é contínua em
se
.
Critério geral (univariado):
Critério geral (multivariado):