Por que a função f é contínua em ( 1,7 )?

Passo 1

O enunciado que você me deu é curto: “Por que a função f é contínua em ( 1,7 )?”
Informações que temos:
  • A única coisa escrita é essa frase. Não foi dada a expressão de f nem o contexto (se (1,7) é um ponto no domínio unidimensional — isto é, se o autor quis dizer x=1 com f(1)=7 — ou se (1,7) é um ponto em \mathbb{R}^2 para uma função de duas variáveis f(x,y) cuja imagem naquele ponto é desconhecida).
  • O que o enunciado pede é uma justificativa de continuidade em (1,7).
Conclusão imediata: com a informação atual NÃO É POSSÍVEL provar de forma única que f é contínua em (1,7), porque falta a definição de f. Vou, então, explicar de forma didática o que significa "ser contínua em (1,7)", quais são os testes e estratégias padrão para justificar continuidade, e mostrar exemplos concretos (passo a passo) que você pode usar na prova dependendo do tipo de função que aparecer.

Passo 2

O que significa “contínua” — versão univariada (caso mais provável)
  • Se f é uma função de uma variável real para reais, isto é f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, e temos um ponto a=1 tal que f(1)=7, então a definição padrão é:
\text{\(f\) é contínua em }1 \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to1} f(x)=f(1)=7.éí
  • Explicando a definição epsilon–delta (a forma rigorosa): dizer que \lim_{x\to1} f(x)=7 significa:
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \text{existe }\delta>0\\ \text{tal que, se }0<|x-1|<\delta,\\ \text{então }|f(x)-7|<\varepsilon.ã
Aqui cada símbolo significa: \varepsilon é a tolerância que quero para a imagem; \delta é a tolerância que escolho para a entrada; a implicação garante que pontos suficientemente próximos de 1 são levados para dentro do intervalo de raio \varepsilon em torno de 7.

Passo 3

O que significa “contínua” — versão multivariada (se (1,7) for um ponto do domínio em \mathbb{R}^2)
  • Se f é uma função de duas variáveis f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} e queremos continuidade em (1,7), a definição é análoga:
\text{\(f\) é contínua em }(1,7)\quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{(x,y)\to(1,7)} f(x,y)=f(1,7).éí
  • Em forma epsilon–delta:
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \text{existe }\delta>0\\ \text{tal que, se }0<\sqrt{(x-1)^2+(y-7)^2}<\delta,\\ \text{então }|f(x,y)-f(1,7)|<\varepsilon.ã
A diferença essencial é que, em duas variáveis, as aproximações podem vir por qualquer direção no plano — por isso os limites devem ser iguais vindo de todas as direções.

Passo 4

Critérios práticos e teoremas que facilitam a prova (coisa que o professor adora que você use na prova)
  • Teorema de manutenção: somas, produtos e composições de funções contínuas são contínuas. Ou seja, se g e h são contínuas em a, então g+h,\\ g\cdot h e g\circ h são contínuas em a.
  • Funções elementares tipicamente contínuas: polinômios, funções exponenciais, senos, cossenos, raízes (onde definidas), razões entre polinômios (onde denominador não zera). Assim, se f for um polinômio ou uma combinação dessas, geralmente basta observar que cada pedaço é contínuo e aplicar as regras acima.
  • Critério sequencial: f é contínua em a se, e somente se, para toda sequência x_n com x_n\to a vale f(x_n)\to f(a). Às vezes é mais simples usar sequências na prova.

Passo 5

Exemplo concreto (passo a passo) — caso univariado: provar continuidade de uma função linear que vale 7 em 1
  • Suponha que f(x)=6x+1. Observe que f(1)=6\cdot1+1=7. Vamos provar que f é contínua em 1.
  • Método rápido por propriedades de limite: limites preservam soma e produto, e \lim_{x\to1} x = 1. Então
\lim_{x\to1} f(x)=\lim_{x\to1} (6x+1)=6\cdot\lim_{x\to1} x + \lim_{x\to1} 1 = 6\cdot1 + 1 = 7.
Logo \lim_{x\to1} f(x)=f(1) e f é contínua em 1.
  • Demonstração epsilon–delta (a “mão na massa”) para fixar a ideia: dado \varepsilon>0 queremos \delta>0 tal que, se |x-1|<\delta, então |f(x)-7|<\varepsilon.
    Calcule:
|f(x)-7| = |6x+1 - 7| = |6x-6| = 6|x-1|.
Portanto, se escolhermos \delta=\varepsilon/6, então |x-1|<\delta implica |f(x)-7|<6\delta=\varepsilon. Isso prova a continuidade por definição epsilon–delta.
  • Moral: para funções lineares (e polinômios em geral) a prova é super direta. Em prova de faculdade, basta citar que polinômios são contínuos em todo ponto.

Passo 6

Exemplo concreto (passo a passo) — caso multivariado simples
  • Suponha F(x,y)=x+y. Então F é contínua em todo ponto de \mathbb{R}^2 por ser soma de projeções contínuas. Por exemplo, em (1,6) tem-se F(1,6)=7 e
\lim_{(x,y)\to(1,6)} F(x,y) = \lim_{(x,y)\to(1,6)} x + \lim_{(x,y)\to(1,6)} y = 1+6 = 7.
  • Se você tiver uma função de duas variáveis que seja polinomial em x e y, basta usar o mesmo raciocínio: polinômios multivariáveis são contínuos onde definidos.

Passo 7

Como usar isso na sua prova (guia rápido quando o enunciado te der f e pedir continuidade em (1,7))
  • Passo A: identificar se (1,7) é o par (x,y) do domínio ou se é a afirmação f(1)=7. Normalmente o autor quer dizer: provar que f é contínua em x=1 e f(1)=7 (ou provar que f é contínua no ponto (1,7) do domínio, no caso multivariado).
  • Passo B: se f for polinomial, racional (com denominador não nulo), exponencial, trigonométrica, etc., use o teorema das operações contínuas: cite que as partes são contínuas e conclua.
  • Passo C: se f for definida por partes ou algo mais complicado, verifique \lim_{x\to1^-} f(x) e \lim_{x\to1^+} f(x) (no univariado) ou verifique limites por direções (no multivariado). Se necessário, use epsilon–delta ou sequência para justificar.
  • Passo D: concluída a demonstração de que \lim existe e é igual a f(1) (ou f(1,7)), escreva a conclusão: "Logo f é contínua em (1,7)".

Resposta

Não é possível verificar que f é contínua em (1,7) porque a definição explícita de f não foi fornecida; falta informação.
Critério geral (univariado): f é contínua em (1,7) (interpretando como f(1)=7) se \displaystyle \lim_{x\to1} f(x)=7.
Critério geral (multivariado): f é contínua em (1,7) se \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,7)} f(x,y)=f(1,7).

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