A função f é diferenciável em (0,0) ? E em (x, y) \neq(0,0) ?
f(x, y)=\left\{\begin{array}{r}\frac{x^{6}-y^{6}}{x^{6}+y^{6}}, \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Pergunta 1: a função [f) é diferenciável em (0,0)?
  • Pergunta 2: a função f é diferenciável em pontos (x,y)\neq(0,0)?
Informações dadas (explicitadas):
  • A função é
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{6}-y^{6}}{x^{6}+y^{6}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
  • Observação sobre o denominador: x^{6}+y^{6}=0\] ocorre somente se \(x=0 e y=0, porque t^6\ge 0 e t^6=0 sse t=0.]

Passo 2

Analisar diferenciabilidade em (x,y)\neq(0,0).
Explicação didática curta sobre o que vamos usar: polinômios (como x^6 e y^6) são funções infinitamente diferenciáveis. Se g e h são C^\infty e h é diferente de zero numa vizinhança, então a função g/h é C^\infty nessa vizinhança (regra do quociente de funções suaves). Diferenciável significa, de forma prática, que existe uma aproximação linear local bem definida (o gradiente existe e fornece a aplicação linear).
Aplicando ao our caso:
  • Defina g(x,y)=x^{6}-y^{6} e h(x,y)=x^{6}+y^{6}. Ambas são polinômios em x,y, portanto g e h são C^\infty em toda \mathbb{R}^2.
  • Para qualquer ponto (x_0,y_0)\neq(0,0) tem-se h(x_0,y_0)=x_0^6+y_0^6>0. Logo h não se anula numa vizinhança de (x_0,y_0).
  • Pelo fato acima, a razão g/h é C^\infty numa vizinhança de (x_0,y_0). Portanto f é diferenciável em todo ponto (x,y)\neq(0,0).
Comentário amiguinho: em linguagem mais direta — fora da origem o denominador é estritamente positivo e a função é quociente de polinômios, então está ótima, suave e diferenciável.

Passo 3

Preparar o teste no ponto (0,0).
Lembrando a definição prática: a função f é diferenciável em (0,0) se existe um mapa linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que, quando (h,k)\to(0,0),
f(0+h,0+k)-f(0,0) - L(h,k) = o\big(\sqrt{h^2+k^2}\big).
Para funções reais de duas variáveis, se f for diferenciável então as derivadas parciais em (0,0) existem e L(h,k)=f_x(0,0)\,h + f_y(0,0)\,k. Assim, um jeito eficiente de mostrar que f não é diferenciável em (0,0) é mostrar que pelo menos uma derivada parcial em (0,0) não existe, ou que a condição de aproximação linear falha.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais em (0,0) (pelo limite das diferenças).
Derivada parcial em x em (0,0) (definição):
f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Para h\neq 0 temos f(h,0)=\dfrac{h^6-0}{h^6+0}=1. Então
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{1-0}{h}=\frac{1}{h}.
O limite \lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h} não existe como número finito (tende a +\infty quando h\to 0^+ e a -\infty quando h\to 0^-). Portanto f_x(0,0) não existe (não é finito).
Derivada parcial em y em (0,0):
f_y(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}.
Para k\neq 0 temos f(0,k)=\dfrac{0-k^6}{0+k^6}=-1. Então
\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\frac{-1-0}{k}=-\frac{1}{k},
e \lim_{k\to 0}-\dfrac{1}{k} também não existe (diverge). Logo f_y(0,0) não existe.
Conclusão parcial: pelo menos uma (na verdade ambas) das derivadas parciais em (0,0) não existe, portanto f não pode ser diferenciável em (0,0).

Passo 5

Outra maneira de ver a falha da diferenciabilidade (intuição e contraste de direções).
Se f fosse diferenciável em (0,0) com diferencial linear L, então para todo caminho (h,k)\to(0,0) a razão
\frac{f(h,k)-f(0,0)-L(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}
deveria tender a 0. Em particular, se L fosse a nula (caso hipotético em que as parciais fossem zero), esperaríamos que \dfrac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}\to 0.
Mas examinando dois caminhos:
  • Ao longo do eixo x: para k=0 e h\to 0 tem-se f(h,0)=1. Logo
\frac{f(h,0)}{\sqrt{h^2+0}}=\frac{1}{|h|}\to +\infty,
não se aproxima de 0.
  • Ao longo da reta y=x: para h=k=t e t\neq 0,
f(t,t)=\frac{t^6-t^6}{t^6+t^6}=0,
logo \dfrac{f(t,t)}{\sqrt{2t^2}}=0.
Esses dois comportamentos contraditórios mostram que não existe uma aproximação linear válida para todos os caminhos: portanto f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

Não — f não é diferenciável em (0,0).
Sim — f é diferenciável em todo ponto (x,y)\neq(0,0).

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