A função trabalho de um material refere-se à energia mínima necessária para remover um elétron do material. Suponha que a função trabalho do ouro seja 4,90 \mathrm{eV} e a do césio seja 1,90 \mathrm{eV}. Calcule o comprimento de onda máximo da luz para a emissão fotoelétrica de elétrons para o ouro e para o césio.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento de onda máximo da luz que causa emissão fotoelétrica de elétrons para dois metais. Informação dada:
  • Função trabalho do ouro: \phi_{\text{Au}} = 4,90\\ \mathrm{eV}.
  • Função trabalho do césio: \phi_{\text{Cs}} = 1,90\\ \mathrm{eV}.
O que se quer: para cada metal, encontrar o comprimento de onda máximo \lambda_{\max} tal que fótons com \lambda \le \lambda_{\max} têm energia suficiente para arrancar elétrons (ou seja, energia do fóton igual à função trabalho no caso-limite).

Passo 2

Princípio físico e fórmula básica (explicação didática): no efeito fotoelétrico, um fóton de energia E_{\text{fóton}}ó pode arrancar um elétron se sua energia for pelo menos igual à função trabalho \varphi. A energia de um fóton está relacionada ao comprimento de onda pela fórmula de Planck:
E_{\text{fóton}}=\frac{h c}{\lambda},ó
onde:
  • h é a constante de Planck (unidade: \mathrm{J\cdot s}),
  • c é a velocidade da luz no vácuo (unidade: \mathrm{m/s}),
  • \lambda é o comprimento de onda (unidade: \mathrm{m} ou \mathrm{nm}).
O comprimento de onda máximo ocorre quando E_{\text{fóton}}=\varphió. Assim:
\lambda_{\max}=\frac{h c}{\varphi}.

Passo 3

Como trabalhar com \varphi em \mathrm{eV} é mais direto, usamos a constante h c expressa em unidades compatíveis com \mathrm{eV}\cdot\mathrm{nm}. Podemos obter esse valor a partir de h e c e da conversão 1\\ \mathrm{eV}=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}; o resultado conhecido e prático é
h c \approx 1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}.
(Isto significa que um fóton de comprimento de onda \lambda em \mathrm{nm} tem energia aproximada E(\mathrm{eV})\approx 1240/\lambda(\mathrm{nm}).)
Substituindo na expressão de \lambda_{\max} e isolando \lambda em \mathrm{nm} quando \varphi está em \mathrm{eV}, obtemos a fórmula prática:
\lambda_{\max}\\ (\mathrm{nm})=\frac{1240}{\varphi\\ (\mathrm{eV})}.

Passo 4

Cálculo para o ouro, com detalhamento aritmético:
\lambda_{\max,\text{Au}}=\frac{1240}{\phi_{\text{Au}}}=\frac{1240}{4,90}.
Para facilitar a conta sem calculadora, multiplica-se numerador e denominador por 10:
\frac{1240}{4,90}=\frac{12400}{49}.
Agora faça divisão inteira:
49\times 253=12397,
restam 12400-12397=3. Portanto
\frac{12400}{49}=253+\frac{3}{49}=253+0,061224\ldots
Logo, com aproximação razoável,
\lambda_{\max,\text{Au}}\approx253,06\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Cálculo para o césio, com detalhamento:
\lambda_{\max,\text{Cs}}=\frac{1240}{\phi_{\text{Cs}}}=\frac{1240}{1,90}.
Multiplicando num. e den. por 10:
\frac{1240}{1,90}=\frac{12400}{19}.
Divisão inteira:
19\times 652=12388,
restam 12400-12388=12. Portanto
\frac{12400}{19}=652+\frac{12}{19}=652+0,6315789\ldots
Assim,
\lambda_{\max,\text{Cs}}\approx652,63\\ \mathrm{nm}.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem de ordem de grandeza (didática): resultados fazem sentido fisicamente:
  • Ouro com função trabalho maior ( 4,90\\ \mathrm{eV}) exige fótons mais energéticos → \lambda_{\max} menor ( \sim253\\ \mathrm{nm}, ultravioleta).
  • Césio com função trabalho menor ( 1,90\\ \mathrm{eV}) permite fótons de menor energia → \lambda_{\max} maior ( \sim653\\ \mathrm{nm}, perto do vermelho visível).
    Unidades conferem: usamos h c em \mathrm{eV\cdot nm} e \varphi em \mathrm{eV}, então \lambda saiu em \mathrm{nm}.

Resposta

\lambda_{\max,\text{Au}} \approx 253{,}06\\ \mathrm{nm}\n
\lambda_{\max,\text{Cs}} \approx 652{,}63\\ \mathrm{nm}

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