Um gás ideal em um dado estado se expande até um determinado volume final, primeiramente a uma pressão constante e depois a uma temperatura constante. Em qual caso o trabalho realizado é maior?

Passo 1

O enunciado diz: um gás ideal parte de um mesmo estado inicial com pressão \,P_i, volume \,V_i e temperatura \,T_i e é levado até um mesmo volume final \,V_f>V_i por dois caminhos distintos. Pergunta: em qual dos dois casos o trabalho realizado pelo gás é maior?
As duas trajetórias são:
  • Trajetória A: expansão a pressão constante (isobárica), isto é \,P=P_i durante toda a expansão, até \,V_f.
  • Trajetória B: expansão a temperatura constante (isotérmica), isto é \,T=T_i durante toda a expansão, até \,V_f.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O gás é ideal (vale \,P V = n R T).
  • Partida do mesmo estado inicial \,(P_i,V_i,T_i) e mesmo volume final \,V_f.
  • Quer-se comparar os trabalhos realizados por cada processo.

Passo 2

Conceito e fórmula básica do trabalho em processos quasistáticos: o trabalho realizado pelo gás ao expandir de \,V_i até \,V_f é a integral da pressão em função do volume,
W=\int_{V_i}^{V_f} P(V)\,dV.
Explicando: essa integral representa a área sob a curva P vs V. Para expansão, se a pressão é sempre positiva, W>0 e corresponde ao trabalho realizado pelo gás sobre o ambiente.

Passo 3

Cálculo do trabalho no processo isobárico (pressão constante).
Se a pressão é constante e igual a \,P_i, a integral fica fácil:
W_{\text{isobárico}}=\int_{V_i}^{V_f} P_i\,dV = P_i\,(V_f-V_i).á
Aqui \,P_i é a pressão (constante) e \,V_f-V_i é a variação de volume. Interpretação geométrica: é a área de um retângulo de base \,V_f-V_i e altura \,P_i.

Passo 4

Cálculo do trabalho no processo isotérmico (temperatura constante) para gás ideal.
Pela equação dos gases ideais vale
P(V)=\frac{n R T_i}{V},
onde \,n é o número de mols, \,R a constante universal, e \,T_i a temperatura constante do processo. Substituindo na integral:
W_{\text{isotérmico}}=\int_{V_i}^{V_f}\frac{n R T_i}{V}\,dV = n R T_i \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).é
Podemos também escrever usando o estado inicial: \,n R T_i = P_i V_i. Assim
W_{\text{isotérmico}} = P_i V_i \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).é
Explicando: a integral de 1/V é o logaritmo natural, por isso aparece a função \ln.

Passo 5

Comparação algébrica entre os dois trabalhos.
Queremos ver qual é maior entre
W_{\text{isobárico}} = P_i (V_f-V_i)á
e
W_{\text{isotérmico}} = P_i V_i \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).é
Como \,P_i>0, podemos dividir por \,P_i e comparar
V_f-V_i \quad\text{vs}\quad V_i \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Defina \,x=\dfrac{V_f}{V_i}>1. Então a comparação fica entre \,x-1 e \,\ln x. Agora usamos a desigualdade clássica
\ln x \le x-1\quad\text{para }x>0,
com igualdade somente em \,x=1. Uma prova curta desta desigualdade: considere a função
f(x)=x-1-\ln x.
Temos f(1)=0 e derivando f'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}. Para x\ge1 temos f'(x)\ge0, logo f é crescente para x\ge1 e portanto f(x)\ge0 para x\ge1, isto é \ln x\le x-1. Aplicando isso com x=\dfrac{V_f}{V_i}>1 obtemos
V_i \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right) \le V_i\left(\frac{V_f}{V_i}-1\right)=V_f-V_i.
Multiplicando por \,P_i>0
W_{\text{isotérmico}} \le W_{\text{isobárico}},éá
e, como \,V_f>V_i (expansão não trivial), a desigualdade é estrita:
W_{\text{isotérmico}} < W_{\text{isobárico}}.éá

Passo 6

Interpretação física e geométrica (intuição amiga).
  • No diagrama P versus V, o trabalho é a área sob a curva. Para a isobárica a curva é uma linha horizontal em \,P=P_i, formando um retângulo de área maior.
  • Para a isotérmica a curva é uma hipérbole \,P=nRT_i/V que, para \,V>V_i, tem pressão menor que \,P_i (porque \,P(V)=P_i V_i/V<P_i quando V>V_i). Logo a área sob a hipérbole entre \,V_i e \,V_f é menor que a área do retângulo isobárico.
  • Conclusão física: mantendo a pressão inicial constante durante a expansão o gás empurra com a mesma pressão por todo o trajeto; na isotérmica a pressão decresce conforme o volume cresce, então o gás faz menos trabalho total até o mesmo volume final.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar (só para ver números).
Escolha \,V_i=1\\ \text{m}^3, \,V_f=2\\ \text{m}^3 e \,P_i=100\\ \text{kPa}.
W_{\text{isobárico}} = P_i (V_f-V_i) = 100{,}0\\ \text{kPa}\times 1\\ \text{m}^3 = 100{,}0\\ \text{kJ}.á
W_{\text{isotérmico}} = P_i V_i \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=100{,}0\\ \text{kPa}\times 1\\ \text{m}^3 \times \ln 2 \approx 100{,}0\times 0{,}693 = 69{,}3\\ \text{kJ}.é
De fato \,69{,}3<100{,}0, confirmando a comparação anterior.

Resposta

O trabalho é maior na expansão a pressão constante (isobárica).

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