Um gás ideal em um dado estado se expande até um determinado volume final, primeiramente a uma pressão constante e depois a uma temperatura constante. Em qual caso o trabalho realizado é maior?
Passo 1
O enunciado diz: um gás ideal parte de um mesmo estado inicial com pressão
, volume
e temperatura
e é levado até um mesmo volume final
por dois caminhos distintos. Pergunta: em qual dos dois casos o trabalho realizado pelo gás é maior?
As duas trajetórias são:
As duas trajetórias são:
- Trajetória A: expansão a pressão constante (isobárica), isto é
durante toda a expansão, até . - Trajetória B: expansão a temperatura constante (isotérmica), isto é
durante toda a expansão, até .
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O gás é ideal (vale
). - Partida do mesmo estado inicial
e mesmo volume final . - Quer-se comparar os trabalhos realizados por cada processo.
Passo 2
Conceito e fórmula básica do trabalho em processos quasistáticos: o trabalho realizado pelo gás ao expandir de
até
é a integral da pressão em função do volume,
Explicando: essa integral representa a área sob a curva
vs
. Para expansão, se a pressão é sempre positiva,
e corresponde ao trabalho realizado pelo gás sobre o ambiente.
Passo 3
Cálculo do trabalho no processo isobárico (pressão constante).
Se a pressão é constante e igual a , a integral fica fácil:
Se a pressão é constante e igual a
Aqui
é a pressão (constante) e
é a variação de volume. Interpretação geométrica: é a área de um retângulo de base
e altura
.
Passo 4
Cálculo do trabalho no processo isotérmico (temperatura constante) para gás ideal.
Pela equação dos gases ideais vale
Pela equação dos gases ideais vale
onde
é o número de mols,
a constante universal, e
a temperatura constante do processo. Substituindo na integral:
Podemos também escrever usando o estado inicial:
. Assim
Explicando: a integral de
é o logaritmo natural, por isso aparece a função
.
Passo 5
Comparação algébrica entre os dois trabalhos.
Queremos ver qual é maior entre
Queremos ver qual é maior entre
e
Como
, podemos dividir por
e comparar
Defina
. Então a comparação fica entre
e
. Agora usamos a desigualdade clássica
com igualdade somente em
. Uma prova curta desta desigualdade: considere a função
Temos
e derivando
. Para
temos
, logo
é crescente para
e portanto
para
, isto é
. Aplicando isso com
obtemos
Multiplicando por
dá
e, como
(expansão não trivial), a desigualdade é estrita:
Passo 6
Interpretação física e geométrica (intuição amiga).
- No diagrama
versus , o trabalho é a área sob a curva. Para a isobárica a curva é uma linha horizontal em , formando um retângulo de área maior. - Para a isotérmica a curva é uma hipérbole
que, para , tem pressão menor que (porque quando ). Logo a área sob a hipérbole entre e é menor que a área do retângulo isobárico. - Conclusão física: mantendo a pressão inicial constante durante a expansão o gás empurra com a mesma pressão por todo o trajeto; na isotérmica a pressão decresce conforme o volume cresce, então o gás faz menos trabalho total até o mesmo volume final.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar (só para ver números).
Escolha ,
e
.
Escolha
De fato
, confirmando a comparação anterior.
Resposta
O trabalho é maior na expansão a pressão constante (isobárica).