2-) Generalizando o operador reversão temporal do problema anterior para o caso de um momento angular J qualquer dado por:
Mostre que:
Passo 1
O enunciado nos dá o operador de reversão temporal
onde
é o operador de conjugação complexa (antiunitário) e
é um fator de fase (número complexo de módulo
).
O que se pede explicitamente:
O que se pede explicitamente:
- Mostrar que
agindo sobre um estado de momento angular com semi-inteiro dá um sinal multiplicando o estado; - Mostrar que
agindo sobre um estado com inteiro dá multiplicando o estado; - Mostrar que os autovalores de
são .
As informações úteis dadas: a forma do operador
, o papel de
(conjugação complexa) e que
é uma fase (podemos tomar
).
Passo 2
Entender como
atua em números, em
e em operadores. Regras básicas do operador de conjugação complexa
:
- Para qualquer número complexo
, tem-se . Em particular . -
efetua conjugação em : . - Para um operador qualquer
dado por matriz na base , (matriz conjugada elemento a elemento).
Agora uma propriedade importante do operador
na base
(base própria de
). Usaremos a expressão com operadores escalão:
Os elementos de
e
na base
são reais (proporcional a raízes quadradas reais), portanto
e
. Daí
Portanto, na base
as entradas de
são puramente imaginárias e
Passo 3
Verificar como
age sobre o exponencial de rotação
. Use a regra de conjugação de exponenciais:
Agora aplique
ao argumento
. Como
e
, temos
Portanto o argumento do exponencial fica exatamente o mesmo, e assim
Em palavras:
comuta com
, ou seja
. (Isto acontece porque a conjugação muda o sinal de
e de
ao mesmo tempo, deixando o produto
invariante.)
Passo 4
Calcular
passo a passo. Escreva
com
. Então
Usando
(conjugação do fator escalar) e
, agrupamos:
Como
e
(escolhemos
de módulo
), obtemos
Portanto
é simplesmente a rotação de
em torno do eixo
.
Passo 5
Avaliar a ação de
sobre o espaço de spin
. Uma forma direta é lembrar que uma rotação de
em torno de qualquer eixo é equivalente (por conjugação unitária) a uma rotação de
em torno do eixo
. Então é suficiente analisar
Agora observe que, para um dado
, os valores de
são
. Todos esses
têm a mesma paridade de
(ou seja,
e
têm a mesma paridade), logo
é igual para todos os
e, em particular,
Dessa forma a rotação de
age como um múltiplo escalar da identidade no espaço de spin
:
(Exemplos rápidos: se
é inteiro,
é par e
; se
é semi-inteiro,
é ímpar e
.)
Passo 6
Juntando os passos anteriores, concluímos que
Logo, ao agir sobre qualquer estado de spin
,
e separando os casos pedimos:
- Se
é semi-inteiro então , logo . - Se
é inteiro então , logo .
Força aí — a conclusão bonita é que estados de spin semi-inteiro mudam de sinal sob
, enquanto estados de spin inteiro não mudam.
Resposta
Os autovalores de