2-) Generalizando o operador reversão temporal do problema anterior para o caso de um momento angular J qualquer dado por:
\boldsymbol{\Theta}=\eta \exp \left(-i \frac{J_{y} \pi}{\hbar}\right) K
Mostre que:
\begin{gathered} \boldsymbol{\Theta}^{2}\left|j_{\text {semi-inteiro }}\right\rangle=-1\left|j_{\text {semi-inteiro }}\right\rangle \\\ \boldsymbol{\Theta}^{2}\left|j_{\text {inteiro }}\right\rangle=+1\left|j_{\text {inteiro }}\right\rangle \\\ \text { E os autovalores de } \boldsymbol{\Theta}^{2} \text { são }(-1)^{2 j} \end{gathered}ã

Passo 1

O enunciado nos dá o operador de reversão temporal
\boldsymbol{\Theta}=\eta \exp\!\left(-i\frac{\pi J_{y}}{\hbar}\right)K,
onde K é o operador de conjugação complexa (antiunitário) e \eta é um fator de fase (número complexo de módulo 1).
O que se pede explicitamente:
  • Mostrar que \boldsymbol{\Theta}^{2} agindo sobre um estado de momento angular com j semi-inteiro dá um sinal -1 multiplicando o estado;
  • Mostrar que \boldsymbol{\Theta}^{2} agindo sobre um estado com j inteiro dá +1 multiplicando o estado;
  • Mostrar que os autovalores de \boldsymbol{\Theta}^{2} são ( -1)^{2j}.
As informações úteis dadas: a forma do operador \boldsymbol{\Theta}, o papel de K (conjugação complexa) e que \eta é uma fase (podemos tomar |\eta|=1).

Passo 2

Entender como K atua em números, em i e em operadores. Regras básicas do operador de conjugação complexa K:
  • Para qualquer número complexo c, tem-se K\,c = c^{*}\,K. Em particular K\eta = \eta^{*}K.
  • K efetua conjugação em i: K\,i\,K^{-1} = -i.
  • Para um operador qualquer A dado por matriz na base \{|j,m\rangle\}, K A K^{-1}=A^{*} (matriz conjugada elemento a elemento).
Agora uma propriedade importante do operador J_{y} na base \{|j,m\rangle\} (base própria de J_{z}). Usaremos a expressão com operadores escalão:
J_{y}=\frac{J_{+}-J_{-}}{2i}.
Os elementos de J_{+} e J_{-} na base |j,m\rangle são reais (proporcional a raízes quadradas reais), portanto J_{+}^{*}=J_{+} e J_{-}^{*}=J_{-}. Daí
J_{y}^{*}=\left(\frac{J_{+}-J_{-}}{2i}\right)^{*}=\frac{J_{+}-J_{-}}{-2i}=-J_{y}.
Portanto, na base |j,m\rangle as entradas de J_{y} são puramente imaginárias e
K\,J_{y}\,K^{-1}=J_{y}^{*}=-J_{y}.

Passo 3

Verificar como K age sobre o exponencial de rotação U\equiv\exp\!\left(-i\frac{\pi J_{y}}{\hbar}\right). Use a regra de conjugação de exponenciais:
K\,U\,K^{-1}=K\exp\!\left(-i\frac{\pi J_{y}}{\hbar}\right)K^{-1} =\exp\!\left(K\left(-i\frac{\pi J_{y}}{\hbar}\right)K^{-1}\right).
Agora aplique K ao argumento -i\frac{\pi J_{y}}{\hbar}. Como K i K^{-1}=-i e K J_{y} K^{-1}=-J_{y}, temos
K\left(-i\frac{\pi J_{y}}{\hbar}\right)K^{-1}=(-i)^{*}\frac{\pi J_{y}^{*}}{\hbar} = (+i)\frac{(-J_{y})}{\hbar} = -i\frac{J_{y}}{\hbar}.
Portanto o argumento do exponencial fica exatamente o mesmo, e assim
K\,U\,K^{-1}=U.
Em palavras: K comuta com U, ou seja K U=U K. (Isto acontece porque a conjugação muda o sinal de i e de J_{y} ao mesmo tempo, deixando o produto -iJ_{y} invariante.)

Passo 4

Calcular \boldsymbol{\Theta}^{2} passo a passo. Escreva \boldsymbol{\Theta}=\eta\,U\,K com U=\exp\!\left(-i\frac{\pi J_{y}}{\hbar}\right). Então
\boldsymbol{\Theta}^{2}=\eta\,U\,K\;\eta\,U\,K.
Usando K\eta=\eta^{*}K (conjugação do fator escalar) e K U=U K, agrupamos:
\boldsymbol{\Theta}^{2}=\eta\,U\;(\eta^{*}K)\;U\,K = \eta\eta^{*}\,U\,U\,K\,K.
Como K^{2}=1 e \eta\eta^{*}=|\eta|^{2}=1 (escolhemos \eta de módulo 1), obtemos
\boldsymbol{\Theta}^{2}=U^{2}=\exp\!\left(-i\frac{2\pi J_{y}}{\hbar}\right).
Portanto \boldsymbol{\Theta}^{2} é simplesmente a rotação de 2\pi em torno do eixo y.

Passo 5

Avaliar a ação de \exp\!\left(-i\frac{2\pi J_{y}}{\hbar}\right) sobre o espaço de spin j. Uma forma direta é lembrar que uma rotação de 2\pi em torno de qualquer eixo é equivalente (por conjugação unitária) a uma rotação de 2\pi em torno do eixo z. Então é suficiente analisar
\exp\!\left(-i\frac{2\pi J_{z}}{\hbar}\right)\,|j,m\rangle =e^{-i\frac{2\pi m\hbar}{\hbar}}\,|j,m\rangle =e^{-i2\pi m}\,|j,m\rangle.
Agora observe que, para um dado j, os valores de m são m=-j,-j+1,\dots,j. Todos esses m têm a mesma paridade de 2m (ou seja, 2m e 2j têm a mesma paridade), logo e^{-i2\pi m} é igual para todos os m e, em particular,
e^{-i2\pi m}=(-1)^{2m}=(-1)^{2j} \quad\text{para todo }m\in\{-j,\dots,j\}.
Dessa forma a rotação de 2\pi age como um múltiplo escalar da identidade no espaço de spin j:
\exp\!\left(-i\frac{2\pi J_{y}}{\hbar}\right)=(-1)^{2j}\,\mathbb{I}.
(Exemplos rápidos: se j é inteiro, 2j é par e (-1)^{2j}=+1; se j é semi-inteiro, 2j é ímpar e (-1)^{2j}=-1.)

Passo 6

Juntando os passos anteriores, concluímos que
\boldsymbol{\Theta}^{2}=\exp\!\left(-i\frac{2\pi J_{y}}{\hbar}\right)=(-1)^{2j}\,\mathbb{I}.
Logo, ao agir sobre qualquer estado de spin j,
\boldsymbol{\Theta}^{2}\,|j\rangle = (-1)^{2j}\,|j\rangle,
e separando os casos pedimos:
  • Se j é semi-inteiro então (-1)^{2j}=-1, logo \boldsymbol{\Theta}^{2}|j_{\text{semi-inteiro}}\rangle=-1\,|j_{\text{semi-inteiro}}\rangle.
  • Se j é inteiro então (-1)^{2j}=+1, logo \boldsymbol{\Theta}^{2}|j_{\text{inteiro}}\rangle=+1\,|j_{\text{inteiro}}\rangle.
Força aí — a conclusão bonita é que estados de spin semi-inteiro mudam de sinal sob \boldsymbol{\Theta}^{2}, enquanto estados de spin inteiro não mudam.

Resposta

\boldsymbol{\Theta}^{2}\left|j_{\text {semi-inteiro }}\right\rangle=-1\left|j_{\text {semi-inteiro }}\right\rangle
\boldsymbol{\Theta}^{2}\left|j_{\text {inteiro }}\right\rangle=+1\left|j_{\text {inteiro }}\right\rangle
Os autovalores de \boldsymbol{\Theta}^{2} são (-1)^{2 j}

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