Uma gotícula de óleo carregada cai
em
com velocidade terminal na ausência de um campo elétrico. A densidade do ar é
e a do óleo é
. A viscosidade do ar é
.
(a) Quais são a massa e o raio da gota?
(b) Se a gotícula transporta duas unidades de carga elétrica e está em um campo elétrico de
, qual é a razão entre a força elétrica e a força gravitacional que atua sobre a gotícula?
(a) Quais são a massa e o raio da gota?
(b) Se a gotícula transporta duas unidades de carga elétrica e está em um campo elétrico de
Passo 1
Vamos organizar o que o enunciado dá e o que ele pede, bem devagarinho para não se perder.
Dados fornecidos:
- Deslocamento vertical da gotícula:
- Tempo para esse deslocamento:
- Densidade do ar:
- Densidade do óleo:
- Viscosidade do ar:
- Campo elétrico (para a parte b):
- A gotícula carrega duas cargas elementares:
com
O que o enunciado pede:
(a) Calcular a massa e o raio da gotícula.
(b) Se a gotícula tem carga e está em campo
, calcular a razão entre a força elétrica
e a força gravitacional (peso)
, isto é
.
(a) Calcular a massa e o raio da gotícula.
(b) Se a gotícula tem carga
Observação inicial útil que vou usar adiante: converter as densidades para
, pois trabalharemos no SI.
Passo 2
Calcular a velocidade terminal a partir do deslocamento e do tempo (a gotícula cai com velocidade terminal na ausência de campo elétrico).
Velocidade terminal:
Converter densidades para
(pois
):
Vou usar
e
quando precisar.
Passo 3
Escrever o equilíbrio de forças no regime de velocidade terminal (explicação didática do que está acontecendo).
Quando a gotícula cai com velocidade terminal, a resultante das forças é zero. As forças verticais são:
- Peso para baixo:
. - Força de empuxo para cima (pressão do ar deslocado):
, onde é o volume da gotícula. - Força de arrasto viscosa (Stokes) para cima:
(válida para esfera pequena em regime laminar; a constante vem da solução de Stokes).
Equilíbrio vertical (peso para baixo igual empuxo + arrasto para cima):
Como a gotícula é óleo com densidade
e volume
, a massa é
. Subtraindo termo de empuxo para juntar as densidades:
Substituindo
:
Passo 4
Isolar o raio
— manipulação algébrica passo a passo (aulas curtas sobre cada símbolo).
Simplifico a equação anterior: posso dividir ambos os lados por
e por
(já que
):
Isolando
:
Simplificando a fração
, obtenho uma forma mais compacta:
Portanto
Explicação rápida: aqui
é a viscosidade do ar,
é a velocidade terminal medida,
é a diferença de densidades que determina a força resultante peso-empuxo por volume, e
é a aceleração da gravidade.
Passo 5
Calcular numericamente o raio usando os valores convertidos.
Substituo
,
,
e
.
Calculo do numerador:
Calculo do denominador:
Então
Raio:
Em unidades mais amigáveis,
. (Pequena gota — faz sentido fisicamente.)
Passo 6
Calcular a massa da gotícula a partir do raio encontrado.
Volume da esfera:
Com
:
Massa:
Interpretação: massa extremamente pequena, como esperado para uma gotícula micrométrica.
Passo 7
Calcular a razão entre a força elétrica e a força gravitacional (parte b).
Carga da gotícula:
Força elétrica (módulo):
Força gravitacional (peso):
Razão pedida:
Interpretação física curta: a força elétrica para duas cargas elementares no campo dado é cerca de
do peso — suficiente para causar uma aceleração significativa, mas não para equilibrar totalmente o peso (não faria a gota subir, apenas reduziria o efeito de queda se fosse aplicada verticalmente para cima).
Passo 8
Resumo final e incentivo rápido.
Pronto! Conseguimos achar o raio e a massa usando o balanço de forças no regime de Stokes e depois calcular a força elétrica e compará-la com o peso. Você foi bem — a técnica essencial aqui é montar o equilíbrio entre peso, empuxo e arrasto e lembrar da fórmula de Stokes. Se quiser, posso refazer os cálculos com mais casas significativas, ou mostrar como variar a resposta se a gota tivesse outra carga ou outro campo elétrico.
Resposta
(a)
(b)
(b)