Uma gotícula de óleo carregada cai 5,0 \mathrm{~mm} em 20,0 \mathrm{~s} com velocidade terminal na ausência de um campo elétrico. A densidade do ar é 1,35 \times 10^{-3} \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e a do óleo é 0,75 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. A viscosidade do ar é 1,80 \times 10^{-5} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s} / \mathrm{m}^{2}.
(a) Quais são a massa e o raio da gota?
(b) Se a gotícula transporta duas unidades de carga elétrica e está em um campo elétrico de 2,5 \times 10^{5} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, qual é a razão entre a força elétrica e a força gravitacional que atua sobre a gotícula?

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado dá e o que ele pede, bem devagarinho para não se perder.
Dados fornecidos:
  • Deslocamento vertical da gotícula: \;5{,}0\\ \mathrm{mm}=5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Tempo para esse deslocamento: \;20{,}0\\ \mathrm{s}.
  • Densidade do ar: \;\rho_{\mathrm{ar}}=1{,}35\times10^{-3}\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Densidade do óleo: \;\rho_{\mathrm{o}}=0{,}75\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Viscosidade do ar: \;\eta=1{,}80\times10^{-5}\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}.
  • Campo elétrico (para a parte b): \;E=2{,}5\times10^{5}\\ \mathrm{V/m}.
  • A gotícula carrega duas cargas elementares: \;q=2e com e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
O que o enunciado pede:
(a) Calcular a massa e o raio da gotícula.
(b) Se a gotícula tem carga q=2e e está em campo E, calcular a razão entre a força elétrica F_{\mathrm{el}} e a força gravitacional (peso) F_{\mathrm{g}}, isto é \dfrac{F_{\mathrm{el}}}{F_{\mathrm{g}}}.
Observação inicial útil que vou usar adiante: converter as densidades para \mathrm{kg/m^{3}}, pois trabalharemos no SI.

Passo 2

Calcular a velocidade terminal a partir do deslocamento e do tempo (a gotícula cai com velocidade terminal na ausência de campo elétrico).
Velocidade terminal:
v_{\mathrm{t}}=\frac{\text{distância}}{\text{tempo}}=\frac{5{,}0\times10^{-3}}{20{,}0}=2{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}.â
Converter densidades para \mathrm{kg/m^{3}} (pois 1\\ \mathrm{g/cm^{3}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}):
\rho_{\mathrm{ar}}=1{,}35\times10^{-3}\times1000=1{,}35\\ \mathrm{kg/m^{3}},
\rho_{\mathrm{o}}=0{,}75\times1000=750\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Vou usar g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}} e e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C} quando precisar.

Passo 3

Escrever o equilíbrio de forças no regime de velocidade terminal (explicação didática do que está acontecendo).
Quando a gotícula cai com velocidade terminal, a resultante das forças é zero. As forças verticais são:
  • Peso para baixo: F_{\mathrm{g,\,peso}}=m g.
  • Força de empuxo para cima (pressão do ar deslocado): F_{\mathrm{emp}}=\rho_{\mathrm{ar}} V g, onde V é o volume da gotícula.
  • Força de arrasto viscosa (Stokes) para cima: F_{\mathrm{drag}}=6\pi\eta r v_{\mathrm{t}} (válida para esfera pequena em regime laminar; a constante 6\pi vem da solução de Stokes).
Equilíbrio vertical (peso para baixo igual empuxo + arrasto para cima):
m g = \rho_{\mathrm{ar}} V g + 6\pi\eta r v_{\mathrm{t}}.
Como a gotícula é óleo com densidade \rho_{\mathrm{o}} e volume V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}, a massa é m=\rho_{\mathrm{o}} V. Subtraindo termo de empuxo para juntar as densidades:
(\rho_{\mathrm{o}}-\rho_{\mathrm{ar}})V g = 6\pi\eta r v_{\mathrm{t}}.
Substituindo V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}:
(\rho_{\mathrm{o}}-\rho_{\mathrm{ar}})\frac{4}{3}\pi r^{3} g = 6\pi\eta r v_{\mathrm{t}}.

Passo 4

Isolar o raio r — manipulação algébrica passo a passo (aulas curtas sobre cada símbolo).
Simplifico a equação anterior: posso dividir ambos os lados por \pi e por r (já que r>0):
(\rho_{\mathrm{o}}-\rho_{\mathrm{ar}})\frac{4}{3} r^{2} g = 6 \eta v_{\mathrm{t}}.
Isolando r^{2}:
r^{2}=\frac{6\eta v_{\mathrm{t}}}{\dfrac{4}{3}(\rho_{\mathrm{o}}-\rho_{\mathrm{ar}})g}.
Simplificando a fração \dfrac{6}{4/3}=\dfrac{6\times3}{4}=\dfrac{18}{4}=\dfrac{9}{2}, obtenho uma forma mais compacta:
r^{2}=\frac{9\,\eta\,v_{\mathrm{t}}}{2(\rho_{\mathrm{o}}-\rho_{\mathrm{ar}})g}.
Portanto
r=\sqrt{\frac{9\,\eta\,v_{\mathrm{t}}}{2(\rho_{\mathrm{o}}-\rho_{\mathrm{ar}})g}}.
Explicação rápida: aqui \eta é a viscosidade do ar, v_{\mathrm{t}} é a velocidade terminal medida, \rho_{\mathrm{o}}-\rho_{\mathrm{ar}} é a diferença de densidades que determina a força resultante peso-empuxo por volume, e g é a aceleração da gravidade.

Passo 5

Calcular numericamente o raio usando os valores convertidos.
Substituo \eta=1{,}80\times10^{-5}, v_{\mathrm{t}}=2{,}5\times10^{-4}, \rho_{\mathrm{o}}-\rho_{\mathrm{ar}}=750-1{,}35=748{,}65 e g=9{,}80.
Calculo do numerador:
9\,\eta\,v_{\mathrm{t}}=9\times(1{,}80\times10^{-5})\times(2{,}5\times10^{-4})=4{,}05\times10^{-8}.
Calculo do denominador:
2(\rho_{\mathrm{o}}-\rho_{\mathrm{ar}})g=2\times748{,}65\times9{,}80\approx1{,}467354\times10^{4}.
Então
r^{2}=\frac{4{,}05\times10^{-8}}{1{,}467354\times10^{4}}\approx2{,}7609\times10^{-12}\\ \mathrm{m^{2}}.
Raio:
r=\sqrt{2{,}7609\times10^{-12}}\approx1{,}66\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Em unidades mais amigáveis, r\approx1{,}66\\ \mu\mathrm{m}. (Pequena gota — faz sentido fisicamente.)

Passo 6

Calcular a massa da gotícula a partir do raio encontrado.
Volume da esfera:
V=\frac{4}{3}\pi r^{3}.
Com r\approx1{,}66\times10^{-6}\\ \mathrm{m}:
r^{3}\approx(1{,}66\times10^{-6})^{3}\approx4{,}585\times10^{-18}\\ \mathrm{m^{3}}.
V\approx\frac{4}{3}\pi\times4{,}585\times10^{-18}\approx1{,}92\times10^{-17}\\ \mathrm{m^{3}}.
Massa:
m=\rho_{\mathrm{o}} V=750\times1{,}92\times10^{-17}\approx1{,}44\times10^{-14}\\ \mathrm{kg}.
Interpretação: massa extremamente pequena, como esperado para uma gotícula micrométrica.

Passo 7

Calcular a razão entre a força elétrica e a força gravitacional (parte b).
Carga da gotícula:
q=2e=2\times1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}=3{,}204\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
Força elétrica (módulo):
F_{\mathrm{el}}=qE=(3{,}204\times10^{-19})(2{,}5\times10^{5})\approx8{,}01\times10^{-14}\\ \mathrm{N}.
Força gravitacional (peso):
F_{\mathrm{g}}=m g\approx(1{,}44\times10^{-14})(9{,}80)\approx1{,}41\times10^{-13}\\ \mathrm{N}.
Razão pedida:
\frac{F_{\mathrm{el}}}{F_{\mathrm{g}}}=\frac{8{,}01\times10^{-14}}{1{,}41\times10^{-13}}\approx0{,}57.
Interpretação física curta: a força elétrica para duas cargas elementares no campo dado é cerca de 57\% do peso — suficiente para causar uma aceleração significativa, mas não para equilibrar totalmente o peso (não faria a gota subir, apenas reduziria o efeito de queda se fosse aplicada verticalmente para cima).

Passo 8

Resumo final e incentivo rápido.
Pronto! Conseguimos achar o raio e a massa usando o balanço de forças no regime de Stokes e depois calcular a força elétrica e compará-la com o peso. Você foi bem — a técnica essencial aqui é montar o equilíbrio entre peso, empuxo e arrasto e lembrar da fórmula de Stokes. Se quiser, posso refazer os cálculos com mais casas significativas, ou mostrar como variar a resposta se a gota tivesse outra carga ou outro campo elétrico.

Resposta

(a) m\approx1{,}44\times10^{-14}\\ \mathrm{kg},\quad r\approx1{,}66\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
(b) \dfrac{F_{\mathrm{el}}}{F_{\mathrm{g}}}\approx0{,}57.

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