Para uma grandeza qualquer
, mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a desigualdade
Informações dadas:
-
é uma grandeza qualquer (interpreto como uma variável aleatória real, ou qualquer função real sobre um espaço de probabilidade) para a qual existem os valores esperados abaixo. - Não há mais dados numéricos; o objetivo é uma prova geral.
Passo 2
Defina a média (esperança) de
como
Vou considerar a quantidade
. Esta quantidade é útil porque expande de forma simples e porque tem uma interpretação clara: é a variância de
(medida de dispersão). Antes de expandir, lembro uma propriedade básica da esperança que vou usar: a esperança é linear, ou seja, para quaisquer constantes reais
e variáveis
vale
Essa propriedade permite distribuir a esperança sobre somas e constantes.
Passo 3
Agora expando
e aplico a esperança passo a passo:
Aplicando
e usando linearidade:
Lembrando que
, substituo
por
:
Portanto obtive a identidade importante
Passo 4
Agora uso um fato elementar: para todo número real
vale
. Assim,
é uma função não negativa em todo lugar, logo sua esperança também é não negativa:
Combinando com a identidade do passo anterior segue
ou seja
Isso já mostra a desigualdade do tipo ``maior ou igual’’. Explico por que e quando é estrita.
Passo 5
Para saber quando a desigualdade é estrita, examine a condição de igualdade. Temos
se e somente se
praticamente sempre (ou seja, com probabilidade
). A razão: se uma função não negativa tem esperança zero, então ela só pode ser positiva em um conjunto de probabilidade zero — caso contrário a integral (esperança) seria positiva. Assim
ou seja,
é (quase) constante. Portanto:
- Se
é constante (com probabilidade ), então . - Se
não é constante (há alguma variação com probabilidade positiva), então e portanto
Passo 6
Exemplo rápido para fixar a ideia: seja
que vale
ou
com probabilidade
cada. Então
e
. Assim
, confirmando a desigualdade estrita porque
não é constante.
Resposta
Além disso, a desigualdade é estrita,