Para uma grandeza qualquer X, mostre que:
\left\langle X^{2}\right\rangle>\langle X\rangle^{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a desigualdade
\langle X^{2}\rangle>\langle X\rangle^{2}.
Informações dadas:
  • X é uma grandeza qualquer (interpreto como uma variável aleatória real, ou qualquer função real sobre um espaço de probabilidade) para a qual existem os valores esperados abaixo.
  • Não há mais dados numéricos; o objetivo é uma prova geral.

Passo 2

Defina a média (esperança) de X como
\mu:=\langle X\rangle.
Vou considerar a quantidade \langle (X-\mu)^{2}\rangle. Esta quantidade é útil porque expande de forma simples e porque tem uma interpretação clara: é a variância de X (medida de dispersão). Antes de expandir, lembro uma propriedade básica da esperança que vou usar: a esperança é linear, ou seja, para quaisquer constantes reais a,b e variáveis Y,Z vale
\langle aY+bZ\rangle = a\langle Y\rangle + b\langle Z\rangle.
Essa propriedade permite distribuir a esperança sobre somas e constantes.

Passo 3

Agora expando (X-\mu)^{2} e aplico a esperança passo a passo:
(X-\mu)^{2}=X^{2}-2\mu X+\mu^{2}.
Aplicando \langle\cdot\rangle e usando linearidade:
\langle (X-\mu)^{2}\rangle=\langle X^{2}\rangle -2\mu\langle X\rangle +\mu^{2}.
Lembrando que \mu=\langle X\rangle, substituo \langle X\rangle por \mu:
\langle (X-\mu)^{2}\rangle=\langle X^{2}\rangle -2\mu^{2}+\mu^{2}=\langle X^{2}\rangle-\mu^{2}.
Portanto obtive a identidade importante
\langle X^{2}\rangle-\langle X\rangle^{2}=\langle (X-\mu)^{2}\rangle.

Passo 4

Agora uso um fato elementar: para todo número real t vale t^{2}\ge 0. Assim, (X-\mu)^{2} é uma função não negativa em todo lugar, logo sua esperança também é não negativa:
\langle (X-\mu)^{2}\rangle \ge 0.
Combinando com a identidade do passo anterior segue
\langle X^{2}\rangle-\langle X\rangle^{2}\ge 0,
ou seja
\langle X^{2}\rangle\ge\langle X\rangle^{2}.
Isso já mostra a desigualdade do tipo ``maior ou igual’’. Explico por que e quando é estrita.

Passo 5

Para saber quando a desigualdade é estrita, examine a condição de igualdade. Temos \langle (X-\mu)^{2}\rangle=0 se e somente se (X-\mu)^{2}=0 praticamente sempre (ou seja, com probabilidade 1). A razão: se uma função não negativa tem esperança zero, então ela só pode ser positiva em um conjunto de probabilidade zero — caso contrário a integral (esperança) seria positiva. Assim
\langle (X-\mu)^{2}\rangle=0 \iff X=\mu\\ \text{quase certamente},
ou seja, X é (quase) constante. Portanto:
  • Se X é constante (com probabilidade 1), então \langle X^{2}\rangle=\langle X\rangle^{2}.
  • Se X não é constante (há alguma variação com probabilidade positiva), então \langle (X-\mu)^{2}\rangle>0 e portanto
\langle X^{2}\rangle>\langle X\rangle^{2}.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar a ideia: seja X que vale 0 ou 1 com probabilidade 1/2 cada. Então \langle X\rangle=1/2 e \langle X^{2}\rangle=\langle X\rangle=1/2. Assim \langle X^{2}\rangle-\langle X\rangle^{2}=1/2-(1/2)^{2}=1/4>0, confirmando a desigualdade estrita porque X não é constante.

Resposta

\langle X^{2}\rangle\ge\langle X\rangle^{2}.
Além disso, a desigualdade é estrita, \langle X^{2}\rangle>\langle X\rangle^{2}, sempre que X não for (quase certamente) constante.

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