6)Um grupo de capitalista está em dúvida apenas quanto ao local a escolher para montar uma fábrica. A decisão de levar o empreendimento para adiante já foi tomada. Duas áreas estão em estudo. A primeira, Cidade de Santos, São Paulo, reúne as vantagens de estar perto das fontes de matéria-prima e do mercado consumidor. A Segunda, cidade de Aratu, Bahia, apresenta as perspectiva dos incentivos fiscais. Construindo a fábrica em Santos, seu custo inicial sairá por \ 10.000 .000,00 , enquanto que em Aratu isto custaráá$8.000 .000,00 por causa da isenção sobre imposto de importação de bens de ativo fixo. Para o volume de produção pretendido (idêntico em ambos os casos) espera-se um lucro liquido anual deçãçãçãê$ 1.200 .000,00 antes do imposto de renda, caso a fábrica seja em Santos. Haverá uma diferença de \ááç400.000,00 para mais nos custos anuais se Aratu for escolhida. A fábrica tem a vida média útil estimada em 20 anos. A taxa de imposto atingirá a 30,00 \% para Santos e zero durante dez anos para Aratu, subindo depois para os mesmos 30,00 \%. Não há inflação. A taxa mínima de atratividade é 6,00 \% ao ano.
TMA 6% ao ano
Definir local a ser escolhido utilizando métodos da Engenharia Econômica. Justifique

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados do enunciado:
  • Custo inicial em Santos: \$10{,}000{,}000.
  • Custo inicial em Aratu: \$8{,}000{,}000.
  • Lucro líquido anual antes do imposto, se em Santos: \$1{,}200{,}000.
  • Se for em Aratu há \$400{,}000 a mais de custos anuais (portanto o lucro antes do imposto em Aratu é menor).
  • Vida útil da fábrica: 20 anos (mesma nos dois locais).
  • Alíquota de imposto de renda:
    • Santos: 30{,}00\% todos os anos.
    • Aratu: 0\% durante os primeiros 10 anos e 30{,}00\% nos últimos 10 anos.
  • Não há inflação.
  • Taxa mínima de atratividade (TMA): 6{,}00\% ao ano.
O que o enunciado pede:
  • Definir qual local escolher utilizando métodos de Engenharia Econômica e justificar a escolha.
Observações explícitas que vou usar (retiradas do enunciado):
  • Peguei o valor de lucro anual em Santos: \$1{,}200{,}000.
  • Peguei a diferença de custos anuais em Aratu: \$400{,}000.
  • Peguei os custos iniciais: \$10{,}000{,}000 (Santos) e \$8{,}000{,}000 (Aratu).
  • Peguei a vida útil n=20 anos e a TMA i=6\%.
  • Peguei as alíquotas de imposto conforme descrito acima.

Passo 2

Qual método de Engenharia Econômica usar e por quê?
Explicação pedagógica curta: para comparar dois projetos mutuamente exclusivos com o mesmo horizonte ( n=20) e sem valores residuais, o método do Valor Presente Líquido (VP, também escrito NPV) é o mais direto. Ele traz todos os fluxos futuros ao valor presente usando a TMA e compara com o desembolso inicial. Alternativa equivalente é converter tudo em Valor Anual Equivalente, que dá o mesmo resultado de decisão. Vou usar o método do Valor Presente (VP) porque é simples e direto.
Fórmula básica do Valor Presente de uma anuidade constante:
P = A\cdot\left(\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\right),
onde:
  • P é o valor presente da série de pagamentos anuais,
  • A é o valor do pagamento anual (receita líquida após impostos neste caso),
  • i é a taxa de desconto por período (aqui 6\%),
  • n é o número de períodos (aqui 20).
Também usarei a fórmula de desconto simples para trazer um valor no tempo k ao tempo zero:
\text{PV}_0 = \text{PV}_k\cdot(1+i)^{-k}.

Passo 3

Calcular os fluxos anuais líquidos após imposto para cada opção (ensinar como fazer).
Santos:
  • Lucro antes do imposto: \$1{,}200{,}000\). - Alíquota de imposto: \(t=30\%=0{,}30\). - Lucro após imposto (anual) é dado por: \[A_{\text{Santos}} = \$1{,}200{,}000\cdot(1-t).
Calcule:
A_{\text{Santos}} = \$1{,}200{,}000\cdot(1-0{,}30)=\$1{,}200{,}000\cdot0{,}70=\$840{,}000.
Explicação: multiplicar por (1-t) equivale a subtrair a parte do imposto.
Aratu:
  • Lucro antes do imposto: reduzido pelos custos a mais de \$400{,}000, logo
\text{lucro antes do imposto em Aratu} = \$1{,}200{,}000 - \$400{,}000 = \$800{,}000.
  • Para os anos 1 a 10: alíquota 0\% → lucro após imposto
A_{1\text{--}10}^{\text{Aratu}} = \$800{,}000\cdot(1-0)=\$800{,}000.
  • Para os anos 11 a 20: alíquota 30\% → lucro após imposto
A_{11\text{--}20}^{\text{Aratu}} = \$800{,}000\cdot(1-0{,}30)=\$800{,}000\cdot0{,}70=\$560{,}000.
Resumo dos A:
  • \,A_{\text{Santos}}=\$840{,}000 por ano, t=1,\dots,20.
  • (,A_{Aratu}= \begin{cases}\$800{,}000,& t=1,\dots,10,\\[4pt]\$560{,}000,& t=11,\dots,20.\end{cases}]]

Passo 4

Calcular o Valor Presente (VP) da opção Santos (passo a passo).
Fórmula do VP de uma anuidade A:
P = A\cdot\left(\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\right).
Aqui A=\$840{,}000, i=0{,}06, n=20.
Primeiro calcule o fator (P/A,i,n):
\left(\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\right)=\frac{1-(1{+}0{,}06)^{-20}}{0{,}06}.
Calcular numericamente: (1{+}0{,}06)^{20}\approx 3{,}207135 (uso de exponenciação padrão),
então (1{+}0{,}06)^{-20}\approx 0{,}3118.
Logo o fator é aproximadamente
\frac{1-0{,}3118}{0{,}06}=\frac{0{,}6882}{0{,}06}\approx11{,}4699.
Agora o VP dos recebimentos:
\text{VP}_{\text{recebimentos,Santos}} = \$840{,}000\cdot11{,}4699 \approx \$9{,}634{,}716.
Subtraindo o investimento inicial:
\text{VP}_{\text{Santos}} = -\$10{,}000{,}000 + \$9{,}634{,}716 = -\$365{,}284.
Interpretação: o VP líquido é negativo em \$365{,}284 à TMA de 6\%, então, isoladamente, a opção Santos destrói valor pelo critério do VP.

Passo 5

Calcular o Valor Presente (VP) da opção Aratu (passo a passo). Aqui há dois blocos de recebimentos diferentes (anos 1–10 e 11–20), então tratamos separadamente.
Primeiro bloco: anos 1 a 10, anualidade A=\$800{,}000, n=10, i=0{,}06.
Fator (P/A,6\%,10):
\frac{1-(1{+}0{,}06)^{-10}}{0{,}06}.
Calculando: (1{+}0{,}06)^{10}\approx1{,}790847 (1{+}0{,}06)^{-10}\approx0{,}558395.
Fator \approx\frac{1-0{,}558395}{0{,}06}=\frac{0{,}441605}{0{,}06}\approx7{,}360087.
VP do primeiro bloco (já no tempo zero):
\text{VP}_{1\text{--}10} = \$800{,}000\cdot7{,}360087 \approx \$5{,}888{,}070.
Segundo bloco: anos 11 a 20, anualidade A=\$560{,}000 por 10 anos, mas começa no ano 11. Procedimento: calcular PV no ano 10 da anuidade de 10 anos, depois descontar para o tempo zero.
VP no tempo 10 do bloco 11–20:
\text{VP}_{10} = \$560{,}000\cdot\left(\frac{1-(1{+}0{,}06)^{-10}}{0{,}06}\right) = \$560{,}000\cdot7{,}360087 \approx \$4{,}121{,}649.
Agora trazer ao tempo zero com fator (1{+}i)^{-10}\approx0{,}558395:
\text{VP}_{11\text{--}20} = \$4{,}121{,}649\cdot0{,}558395 \approx \$2{,}301{,}501.
Somando os dois blocos de recebimentos e subtraindo o investimento inicial:
\text{VP}_{\text{recebimentos,Aratu}} = \$5{,}888{,}070 + \$2{,}301{,}501 = \$8{,}189{,}571.
\text{VP}_{\text{Aratu}} = -\$8{,}000{,}000 + \$8{,}189{,}571 = +\$189{,}571.
Interpretação: Aratu tem VP positivo de aproximadamente \$189{,}571 à TMA de 6\%.

Passo 6

Comparação e decisão (explicando o critério usado).
  • Critério do VP (NPV): escolher a alternativa com maior Valor Presente (quanto maior o VP, melhor para o investidor). Entre as duas opções calculadas:
    • \text{VP}_{\text{Santos}}\approx -\$365{,}284.
    • \text{VP}_{\text{Aratu}}\approx +\$189{,}571.
  • Como \text{VP}_{\text{Aratu}}>\text{VP}_{\text{Santos}} e \text{VP}_{\text{Aratu}}>0, a opção de montar a fábrica em Aratu é economicamente vantajosa segundo a TMA de 6\%. Santos dá NPV negativo — rejeitável.
Breve comentário intuitivo (didático): embora Aratu tenha custos anuais maiores (reduzindo o lucro antes do imposto), a vantagem fiscal nos primeiros 10 anos (alíquota zero) e o menor investimento inicial ( \$8 milhões vs \$10 milhões) fazem o fluxo descontado total ficar levemente positivo, enquanto Santos, mesmo com lucro antes do imposto maior, perde por causa do imposto constante e do maior investimento inicial.

Passo 7

Verificação rápida usando Valor Anual Equivalente (opcional, para conferir). (Ensino rápido)
  • Pode transformar cada VP em uma anuidade equivalente A = P\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}. A decisão por VP e por anuidade é equivalente quando o horizonte n é o mesmo. Não é necessário repetir aqui, porque os resultados já são coerentes. Apenas destacar que competir por VP é suficiente.

Resposta

Cidade de Aratu (Bahia).

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