Um hexágono regular foi inscrito num círculo de área 64 \pi \mathrm{~cm}^{2}. Calcule a área e o apótema do hexágono

Passo 1

O enunciado nos dá uma circunferência (círculo) e um hexágono regular inscrito nela. Informações e perguntas extraídas do enunciado:
  • Dado: a área do círculo é 64\pi\\ \mathrm{cm}^2.
  • Pedido 1: calcular a área do hexágono regular inscrito.
  • Pedido 2: calcular o apótema do hexágono regular inscrito.
Vou trabalhar só com essas informações. Nada mais foi fornecido (sem figura). Agora vou explicar passo a passo as relações geométricas que vou usar e aplicá‑las.

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar o raio do círculo a partir da área dada. A fórmula da área de um círculo é
\text{Área}_{\text{círculo}}=\pi r^{2},Áí
onde r é o raio do círculo. Substituindo o valor dado:
\pi r^{2}=64\pi.
Dividindo ambos os lados por \pi obtemos
r^{2}=64.
Tomando a raiz quadrada positiva (raio é positivo),
r=8\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Agora precisamos relacionar esse raio com o hexágono regular inscrito. Um hexágono regular inscrito num círculo tem seus seis vértices sobre a circunferência. Ao unir o centro do círculo a dois vértices adjacentes obtemos um triângulo isósceles cujo ângulo central vale
\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\quad(\text{ou }60^\circ).
Esse triângulo central com ângulo de 60^\circ e lados dois raios é, na verdade, um triângulo equilátero: os três lados (dois raios e um lado do hexágono) têm o mesmo comprimento. Portanto o lado do hexágono regular inscrito vale exatamente o raio do círculo. Em símbolos,
s=r.
Como encontramos r=8\\ \mathrm{cm}, temos
s=8\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Explicação do apótema: o apótema a de um polígono regular é a distância do centro até o ponto médio de um lado — ou seja, a altura do triângulo isósceles que tem como base um lado do polígono. No caso do hexágono regular cada um dos seis triângulos centrais é equilátero de lado s. A altura h de um triângulo equilátero de lado s é dada por:
h=\frac{\sqrt{3}}{2}s.
Aqui essa altura é exatamente o apótema do hexágono. Substituindo s=8\\ \mathrm{cm}:
a=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 8 = 4\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}.
Se quiser uma aproximação decimal, \sqrt{3}\approx1{,}73205, então a\approx4\cdot1{,}73205\approx6{,}928\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Agora vamos calcular a área do hexágono. Há duas formas equivalentes e simples; vou mostrar as duas (para aprender a usar ambas na prova).
Método A — somando seis áreas de triângulos equiláteros:
  • Área de um triângulo equilátero de lado s é
\text{Área}_{\triangle}=\frac{\sqrt{3}}{4}s^{2}.Á
  • O hexágono é composto por seis desses triângulos, então
\text{Área}_{\text{hex}}=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}s^{2}=\frac{6\sqrt{3}}{4}s^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}s^{2}.Á
Substituindo s=8:
\text{Área}_{\text{hex}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 8^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 64=96\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^{2}.Á
Método B — fórmula geral usando apótema:
  • Para qualquer polígono regular, \text{Área}=\dfrac{\text{Perímetro}\times\text{Apótema}}{2}Áíó.
  • Aqui \text{Perímetro}=6s=6\cdot 8=48\\ \mathrm{cm}í e a=4\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}, logo
\text{Área}_{\text{hex}}=\frac{48\cdot 4\sqrt{3}}{2}=24\cdot 4\sqrt{3}=96\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^{2},Á
mesmo resultado — bom para checar erros.

Passo 6

Dar uma aproximação numérica caso precise comparar ou usar em cálculos práticos:
96\sqrt{3}\approx 96\cdot1{,}73205\approx166{,}28\\ \mathrm{cm}^{2}.
E já lembrando a aproximação do apótema que calculei antes: a\approx6{,}928\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Resumo e incentivo rápido: conseguimos tudo de forma direta usando (1) a área do círculo para achar o raio, (2) a propriedade do hexágono inscrito que tem lado igual ao raio, (3) fórmulas da geometria do triângulo equilátero e do polígono regular. Se estiver nervoso para a prova, decore mentalmente: círculo → raio pela área; hexágono inscrito → lado = raio; apótema = r\cos(\pi/6)=r\sqrt{3}/2; área = 6\cdot(\sqrt{3}/4)s^2 ou P\cdot a/2. Dá pra controlar a situação — vamos com calma.

Resposta

\text{Área do hexágono}=96\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^{2}\approx166{,}28\\ \mathrm{cm}^{2}Áá
\text{Apótema}=4\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}\approx6{,}928\\ \mathrm{cm}ó

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