Um hexágono regular foi inscrito num círculo de área
. Calcule a área e o apótema do hexágono
Passo 1
O enunciado nos dá uma circunferência (círculo) e um hexágono regular inscrito nela. Informações e perguntas extraídas do enunciado:
- Dado: a área do círculo é
. - Pedido 1: calcular a área do hexágono regular inscrito.
- Pedido 2: calcular o apótema do hexágono regular inscrito.
Vou trabalhar só com essas informações. Nada mais foi fornecido (sem figura). Agora vou explicar passo a passo as relações geométricas que vou usar e aplicá‑las.
Passo 2
Primeiro passo prático: encontrar o raio do círculo a partir da área dada. A fórmula da área de um círculo é
onde
é o raio do círculo. Substituindo o valor dado:
Dividindo ambos os lados por
obtemos
Tomando a raiz quadrada positiva (raio é positivo),
Passo 3
Agora precisamos relacionar esse raio com o hexágono regular inscrito. Um hexágono regular inscrito num círculo tem seus seis vértices sobre a circunferência. Ao unir o centro do círculo a dois vértices adjacentes obtemos um triângulo isósceles cujo ângulo central vale
Esse triângulo central com ângulo de
e lados dois raios é, na verdade, um triângulo equilátero: os três lados (dois raios e um lado do hexágono) têm o mesmo comprimento. Portanto o lado do hexágono regular inscrito vale exatamente o raio do círculo. Em símbolos,
Como encontramos
, temos
Passo 4
Explicação do apótema: o apótema
de um polígono regular é a distância do centro até o ponto médio de um lado — ou seja, a altura do triângulo isósceles que tem como base um lado do polígono. No caso do hexágono regular cada um dos seis triângulos centrais é equilátero de lado
. A altura
de um triângulo equilátero de lado
é dada por:
Aqui essa altura é exatamente o apótema do hexágono. Substituindo
:
Se quiser uma aproximação decimal,
, então
.
Passo 5
Agora vamos calcular a área do hexágono. Há duas formas equivalentes e simples; vou mostrar as duas (para aprender a usar ambas na prova).
Método A — somando seis áreas de triângulos equiláteros:
- Área de um triângulo equilátero de lado
é
- O hexágono é composto por seis desses triângulos, então
Substituindo
:
Método B — fórmula geral usando apótema:
- Para qualquer polígono regular,
. - Aqui
e , logo
mesmo resultado — bom para checar erros.
Passo 6
Dar uma aproximação numérica caso precise comparar ou usar em cálculos práticos:
E já lembrando a aproximação do apótema que calculei antes:
.
Passo 7
Resumo e incentivo rápido: conseguimos tudo de forma direta usando (1) a área do círculo para achar o raio, (2) a propriedade do hexágono inscrito que tem lado igual ao raio, (3) fórmulas da geometria do triângulo equilátero e do polígono regular. Se estiver nervoso para a prova, decore mentalmente: círculo → raio pela área; hexágono inscrito → lado = raio; apótema =
; área =
ou
. Dá pra controlar a situação — vamos com calma.