Em uma indústria metalúrgica, o setor de galvanização vem sendo monitorado devido a problemas recorrentes relacionados à qualidade do revestimento aplicado às peças produzidas. Relatórios técnicos indicam que 35 \% das peças apresentam espessura do revestimento fora das especificações estabelecidas, enquanto 12 \% apresentam sinais de oxidação superficial após o processo de acabamento. Em parte das peças, os dois defeitos ocorrem simultaneamente, correspondendo a 7 \% da produção analisada.
A equipe de manutenção também observou que o sistema elétrico responsável pelo processo apresenta, em média, 1,5 pane por semana. Além disso, medições realizadas no controle dimensional
mostraram que a espessura do revestimento metálico pode ser modelada por uma distribuição normal com média de 0,80 \mathrm{~mm} e desvio padrão de 0,05 \mathrm{~mm}.
Para avaliar a qualidade recente da produção, uma inspeção seleciona aleatoriamente 20 peças do processo. Com base nessas informações, pergunta-se:
Qual a probabilidade de exatamente 6 das 20 peças apresentarem espessura inadequada?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a probabilidade de exatamente 6 das 20 peças apresentarem espessura inadequada?”\n
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
  • A proporção de peças com espessura fora das especificações é \,35\%\,. Ou seja, a probabilidade de uma peça, escolhida aleatoriamente, ter espessura inadequada é p=0{,}35.
  • O tamanho da amostra selecionada é n=20 peças.
  • Queremos a probabilidade de ocorrer exatamente k=6 peças com espessura inadequada entre essas 20.

Passo 2

Modelagem e fórmula que vamos usar.\n
Quando temos um número fixo n de tentativas independentes, cada uma com apenas duas possibilidades (sucesso = espessura inadequada, fracasso = adequada) e mesma probabilidade p de sucesso em cada tentativa, o número X de sucessos segue a distribuição binomial. A probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos é dada por:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Explicando cada símbolo:
  • \,n é o número total de peças inspecionadas ( n=20).
  • \,k é o número desejado de peças com defeito ( k=6).
  • \,p é a probabilidade de uma peça ter espessura inadequada ( p=0{,}35).
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que conta de quantas formas distintas podemos escolher quais k peças (entre as n) serão as com defeito.
Vou aplicar essa fórmula com n=20, k=6 e p=0{,}35.

Passo 3

Cálculo do coeficiente binomial \binom{20}{6}.\n
Usando a definição:
\binom{20}{6}=\frac{20!}{6! \,14!}=\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Fazendo simplificações passo a passo:
\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15}{720}.
Calculando o numerador e dividindo:
20\cdot19=380,\quad 380\cdot18=6840,\quad 6840\cdot17=116280,
116280\cdot16=1\,860\,480,\quad 1\,860\,480\cdot15=27\,907\,200.
Agora dividir por 720:
\frac{27\,907\,200}{720}=38\,760.
Portanto \displaystyle \binom{20}{6}=38\,760.

Passo 4

Cálculo das potências p^{6} e (1-p)^{14}.\n
Temos p=0{,}35 e 1-p=0{,}65.\n
Calcule p^{6}:
0{,}35^{2}=0{,}1225,\quad 0{,}35^{3}=0{,}042875,\quad 0{,}35^{4}=0{,}01500625,
0{,}35^{5}=0{,}0052521875,\quad 0{,}35^{6}=0{,}001838265625.
Calcule (1-p)^{14}=0{,}65^{14} por multiplicações sucessivas:
0{,}65^{2}=0{,}4225,\;0{,}65^{3}=0{,}274625,\;0{,}65^{4}=0{,}17850625,
0{,}65^{5}=0{,}1160290625,\;0{,}65^{6}=0{,}075418890625,\;0{,}65^{7}=0{,}04902227890625,
0{,}65^{8}=0{,}0318644512890625,\;0{,}65^{9}=0{,}0207118933378906,
0{,}65^{10}=0{,}0134627306696299,\;0{,}65^{11}=0{,}008750774,
0{,}65^{12}=0{,}0056870031,\;0{,}65^{13}=0{,}003695552015,\;0{,}65^{14}=0{,}00240275880975\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Montagem e cálculo final da probabilidade.\n
Aplicando a fórmula binomial:
P(X=6)=\binom{20}{6}\,0{,}35^{6}\,0{,}65^{14}.
Substituindo os números que calculamos:
P(X=6)=38\,760\times 0{,}001838265625\times 0{,}00240275880975.
Primeiro multiplicando as duas potências:
0{,}001838265625\times 0{,}00240275880975\approx 0{,}000004416908308.
Agora multiplicando pelo coeficiente:
38\,760\times 0{,}000004416908308\approx 0{,}171199365.
Arredondando para quatro casas decimais (suficiente para a maioria das provas):
P(X=6)\approx 0{,}1712.
Interpretação rápida: isso significa cerca de 17{,}12\% de chance de exatamente 6 peças, entre 20 escolhidas aleatoriamente, apresentarem espessura inadequada.

Resposta

0{,}1712

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