Em uma indústria metalúrgica, o setor de galvanização vem sendo monitorado devido a problemas recorrentes relacionados à qualidade do revestimento aplicado às peças produzidas. Relatórios técnicos indicam que
das peças apresentam espessura do revestimento fora das especificações estabelecidas, enquanto
apresentam sinais de oxidação superficial após o processo de acabamento. Em parte das peças, os dois defeitos ocorrem simultaneamente, correspondendo a
da produção analisada.
A equipe de manutenção também observou que o sistema elétrico responsável pelo processo apresenta, em média, 1,5 pane por semana. Além disso, medições realizadas no controle dimensional
mostraram que a espessura do revestimento metálico pode ser modelada por uma distribuição normal com média de
e desvio padrão de
.
Para avaliar a qualidade recente da produção, uma inspeção seleciona aleatoriamente 20 peças do processo. Com base nessas informações, pergunta-se:
Qual a probabilidade de exatamente 6 das 20 peças apresentarem espessura inadequada?
mostraram que a espessura do revestimento metálico pode ser modelada por uma distribuição normal com média de
Qual a probabilidade de exatamente 6 das 20 peças apresentarem espessura inadequada?
Passo 1
O enunciado pede: “Qual a probabilidade de exatamente 6 das 20 peças apresentarem espessura inadequada?”\n
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
- A proporção de peças com espessura fora das especificações é
. Ou seja, a probabilidade de uma peça, escolhida aleatoriamente, ter espessura inadequada é . - O tamanho da amostra selecionada é
peças. - Queremos a probabilidade de ocorrer exatamente
peças com espessura inadequada entre essas .
Passo 2
Modelagem e fórmula que vamos usar.\n
Quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com apenas duas possibilidades (sucesso = espessura inadequada, fracasso = adequada) e mesma probabilidade
de sucesso em cada tentativa, o número
de sucessos segue a distribuição binomial. A probabilidade de ocorrer exatamente
sucessos é dada por:
Quando temos um número fixo
Explicando cada símbolo:
-
é o número total de peças inspecionadas ( ). -
é o número desejado de peças com defeito ( ). -
é a probabilidade de uma peça ter espessura inadequada ( ). -
é o coeficiente binomial, que conta de quantas formas distintas podemos escolher quais peças (entre as ) serão as com defeito.
Vou aplicar essa fórmula com
,
e
.
Passo 3
Cálculo do coeficiente binomial
.\n
Usando a definição:
Usando a definição:
Fazendo simplificações passo a passo:
Calculando o numerador e dividindo:
Agora dividir por
:
Portanto
.
Passo 4
Cálculo das potências
e
.\n
Temos e
.\n
Calcule :
Temos
Calcule
Calcule
por multiplicações sucessivas:
Passo 5
Montagem e cálculo final da probabilidade.\n
Aplicando a fórmula binomial:
Aplicando a fórmula binomial:
Substituindo os números que calculamos:
Primeiro multiplicando as duas potências:
Agora multiplicando pelo coeficiente:
Arredondando para quatro casas decimais (suficiente para a maioria das provas):
Interpretação rápida: isso significa cerca de
de chance de exatamente 6 peças, entre 20 escolhidas aleatoriamente, apresentarem espessura inadequada.