Em uma indústria metalúrgica, o setor de galvanização vem sendo monitorado devido a problemas recorrentes relacionados à qualidade do revestimento aplicado às peças produzidas. Relatórios técnicos indicam que 35 \% das peças apresentam espessura do revestimento fora das especificações estabelecidas, enquanto 12 \% apresentam sinais de oxidação superficial após o processo de acabamento. Em parte das peças, os dois defeitos ocorrem simultaneamente, correspondendo a 7 \% da produção analisada.
A equipe de manutenção também observou que o sistema elétrico responsável pelo processo apresenta, em média, 1,5 pane por semana. Além disso, medições realizadas no controle dimensional
mostraram que a espessura do revestimento metálico pode ser modelada por uma distribuição normal com média de 0,80 \mathrm{~mm} e desvio padrão de 0,05 \mathrm{~mm}.
Para avaliar a qualidade recente da produção, uma inspeção seleciona aleatoriamente 20 peças do processo. Com base nessas informações, pergunta-se:
Qual a probabilidade de uma peça apresentar espessura superior a 0,90 \mathrm{~mm} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações relevantes para esta pergunta:
  • A espessura do revestimento pode ser modelada por uma distribuição normal com média \mu = 0,80\\ \mathrm{mm} e desvio padrão \sigma = 0,05\\ \mathrm{mm}.
  • Foi escolhida uma peça ao acaso (a amostragem de 20 peças aparece no enunciado, mas a pergunta pede a probabilidade para uma peça).
A pergunta específica é: qual a probabilidade de uma peça apresentar espessura superior a 0,90\\ \mathrm{mm}?

Passo 2

Vamos lembrar o que significa modelar por uma normal e como usar isso na prova. Se X é a espessura então escrevemos
X \sim N(\mu,\sigma^{2}).
Aqui \mu é a média (valor central esperado) e \sigma é o desvio padrão (medida de dispersão). Para calcular probabilidades de eventos do tipo X>a é conveniente transformar X numa variável normal padrão Z que tem média 0 e variância 1. Essa padronização é feita com a fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
e vale que Z\sim N(0,1). Em provas normalmente há tabela (ou função) da distribuição normal padrão \Phi(z)=P(Z\le z). Então probabilidades como P(X>a) viram expressões envolvendo \Phi.

Passo 3

Aplicando a padronização ao ponto a=0,90\\ \mathrm{mm}:
z=\frac{0,90-0,80}{0,05}.
Agora fazemos a conta passo a passo:
0,90-0,80=0,10,
\frac{0,10}{0,05}=2.
Portanto o valor padronizado é z=2.

Passo 4

Transformamos a probabilidade pedida usando Z:
P(X>0,90)=P\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}>2\right)=P(Z>2).
Usando a função de distribuição acumulada \Phi da normal padrão,
P(Z>2)=1-\Phi(2).
Também é útil lembrar a simetria da normal: P(Z>2)=\Phi(-2).

Passo 5

Agora consultamos a tabela da normal padrão (ou uma calculadora). O valor tabelado é
\Phi(2)\approx 0,97725.
Então
P(Z>2)=1-0,97725=0,02275\approx 0,0228.
Em porcentagem, isso corresponde a cerca de 2,28\%.

Passo 6

Interpretação curta (útil na prova): é um evento raro — uma peça tem aproximadamente 2,28\% de chance de ter espessura maior que 0,90\\ \mathrm{mm}. Se quiser responder rápido na prova, calcule o z-score e use a tabela da normal padrão; aqui o z-score ficou exatamente 2, o que facilita porque \Phi(2) é valor comum em tabelas.

Resposta

P(X>0,90)\approx 0,0228

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