Em uma indústria metalúrgica, o setor de galvanização vem sendo monitorado devido a problemas recorrentes relacionados à qualidade do revestimento aplicado às peças produzidas. Relatórios técnicos indicam que 35 \% das peças apresentam espessura do revestimento fora das especificações estabelecidas, enquanto 12 \% apresentam sinais de oxidação superficial após o processo de acabamento. Em parte das peças, os dois defeitos ocorrem simultaneamente, correspondendo a 7 \% da produção analisada.
A equipe de manutenção também observou que o sistema elétrico responsável pelo processo apresenta, em média, 1,5 pane por semana. Além disso, medições realizadas no controle dimensional
mostraram que a espessura do revestimento metálico pode ser modelada por uma distribuição normal com média de 0,80 \mathrm{~mm} e desvio padrão de 0,05 \mathrm{~mm}.
Para avaliar a qualidade recente da produção, uma inspeção seleciona aleatoriamente 20 peças do processo. Com base nessas informações, pergunta-se:
Um técnico afirmou: Como a média da espessura é 0,80 \mathrm{~mm}, praticamente nenhuma peça terá espessura acima de 0,90 \mathrm{~mm}. Discuta essa afirmação utilizando os conceitos de distribuição normal e variabilidade.

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que é pedido (sem resolver ainda).
  • Informações relevantes fornecidas:
    • A espessura do revestimento segue uma distribuição normal com média \mu=0,80\\ \mathrm{mm} e desvio padrão \sigma=0,05\\ \mathrm{mm}.
    • Uma inspeção aleatória seleciona 20 peças (tamanho da amostra n=20).
  • A afirmação do técnico a ser discutida: “Como a média da espessura é 0,80\\ \mathrm{mm}, praticamente nenhuma peça terá espessura acima de 0,90\\ \mathrm{mm}.”
  • O que se pede: discutir essa afirmação usando conceitos de distribuição normal e variabilidade — ou seja, avaliar se é razoável dizer que praticamente nenhuma peça excede 0,90\\ \mathrm{mm}, e interpretar em termos de probabilidades e do comportamento numa amostra de 20 peças.

Passo 2

Explicar o que significa modelar a espessura por uma normal e o papel da variabilidade.
  • Quando dizemos que a espessura X segue uma distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos
X \sim N(\mu,\sigma^2).
Isso significa que os valores de X se concentram em torno de \mu e a dispersão típica ao redor de \mu é medida por \sigma.
  • O desvio padrão \sigma tem interpretação prática: cerca de 68\% das observações caem em \mu\pm\sigma, cerca de 95\% em \mu\pm2\sigma, e cerca de 99{,}7\% em \mu\pm3\sigma (regra empírica). Essas porcentagens dão noção do que é “raro” ou “comum”.
  • Para quantificar a raridade de um valor específico x, transformamos para a variável padrão Z (desvio em unidades de \sigma):
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
A partir de Z consultamos a tabela da normal padrão (ou usamos valores conhecidos) para obter probabilidades.

Passo 3

Calcular o “desvio padrão em relação à média” para o limite 0,90\\ \mathrm{mm} (o chamado escore z).
  • Aplicando a fórmula,
z=\frac{0,90-0,80}{0,05}=\frac{0,10}{0,05}=2.
  • Interpretação: 0,90\\ \mathrm{mm} está a 2 desvios padrão acima da média. Pela regra empírica, valores a 2\sigma acima são incomuns, mas não impossíveis.

Passo 4

Calcular a probabilidade de uma peça isolada exceder 0,90\\ \mathrm{mm}.
  • Em termos de Z, queremos P(X>0,90)=P\!\left(Z>2\right).
  • Da tabela da normal padrão ou valores conhecidos, temos
P\!\left(Z>2\right)\approx 0,0228.
  • Interpretação numérica: cerca de 2{,}28\% das peças terão espessura maior que 0,90\\ \mathrm{mm}. Isso é pequeno, mas não é zero.

Passo 5

Interpretar esse valor numa amostra de 20 peças: valor esperado e sentido prático.
  • O número esperado de peças acima de 0,90\\ \mathrm{mm} em n=20 é
E[\text{nº acima de }0,90]=n\cdot p=20\cdot 0,0228=0,456.º
  • Interpretação: em média espera-se menos de uma peça (cerca de 0,456) por amostra de 20, mas isso é uma média — amostras individuais podem ter 0,1 ou 2 peças, etc.

Passo 6

Calcular a probabilidade de observar pelo menos uma peça com espessura >0,90\\ \mathrm{mm} na amostra de 20.
  • Supondo independência aproximada entre peças, a probabilidade de que nenhuma peça exceda 0,90\\ \mathrm{mm} é (1-p)^{20} com p=0,0228. Logo
P(\text{pelo menos uma}>0,90)=1-(1-p)^{20}=1-(1-0,0228)^{20}.
  • Calculando numericamente,
1-(0,9772)^{20}\approx 1-0,630\approx 0,37.
  • Interpretação: há aproximadamente 37\% de chance de que, numa amostra de 20 peças, apareça pelo menos uma peça com espessura acima de 0,90\\ \mathrm{mm}. Isso é um risco bastante não desprezível.

Passo 7

Concluir e discutir a afirmação do técnico, com linguagem prática.
  • A afirmação "praticamente nenhuma peça terá espessura acima de 0,90\\ \mathrm{mm}" é exagerada. Embora a probabilidade individual seja baixa ( \approx 2{,}28\%), ela não é nula.
  • Em amostras pequenas (como n=20) é comum encontrar zero peças acima de 0,90, mas há quase 37\% de chance de encontrar pelo menos uma — isto é, não é raro observar exceções.
  • Em produção em larga escala o efeito é mais visível: por exemplo, em 1000 peças espera-se cerca de 1000\cdot0,0228\approx23 peças acima de 0,90\\ \mathrm{mm}.
  • Observação prática: dizer que “praticamente nenhuma” só seria razoável se a probabilidade fosse muito menor (por exemplo ordens de magnitude menores, como P\sim0,001 ou menos, que aparece além de 3\sigma onde a cauda é realmente ínfima). Aqui estamos a 2\sigma, que é pequeno mas ainda observável.

Passo 8

Resumo prático e sugestão rápida (motivacional)
  • Resumo: P(X>0,90)\approx0,0228 (ou 2{,}28\%); em 20 peças o número médio é \approx0,456 e a probabilidade de ao menos uma exceder 0,90 é \approx0,37.
  • Sugestão: medir amostras e usar cartas de controle ou reduzir a variabilidade ( \sigma) se for necessário tornar realmente raros esses eventos. Fique tranquilo: entender essa diferença entre “baixo” e “praticamente zero” é justamente o que evita surpresas na inspeção.

Resposta

A afirmação é incorreta. P(X>0,90)\approx0,0228 ( \approx2{,}28\%); em 20 peças espera-se 20\cdot0,0228\approx0,456 peças acima de 0,90 e a probabilidade de haver pelo menos uma peça >0,90 na amostra é \approx0,37 (37%).

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