N_{2}, inicialmente ocupando 0,5 \mathrm{~m}^{2} a 1 bar e 20^{\circ} \mathrm{C}, é submetido a uma compressão internamente reversível durante o qual p V^{n}= cte e n igual a 1,3 a um estado final em \mathrm{T}=200^{\circ} \mathrm{C} . N_{2} é modelado como um gás ideal. Determine A) P_{F} em bar.
B) We Q emkJ.
C) \Delta \mathrm{S} \mathrm{em} \mathrm{kJ} / \mathrm{K}.

Passo 1

Vou listar de forma clara o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Gás: N_{2} modelado como gás ideal.
  • Estado inicial:
    • p_{i}=1{,}0\\ \mathrm{bar}.
    • V_{i}=0{,}5\\ \mathrm{m}^{3}. (assumido como volume; o enunciado trouxe \mathrm{m}^{2} mas aqui usarei \mathrm{m}^{3}.)
    • T_{i}=20^\circ\mathrm{C}=293{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Processo: compressão internamente reversível com pV^{n}= constante e expoente n=1{,}3.
  • Estado final:
    • T_{f}=200^\circ\mathrm{C}=473{,}15\\ \mathrm{K}.
Constantes e notação que vou usar:
  • n será o expoente politrópico (já dado n=1{,}3).
  • n_{\mathrm{mol}} será o número de mols do gás (a calcular).
  • R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} (constante universal dos gases).
  • C_{V,m} é o calor molar a volume constante (para N_{2} modelado como diatômico em condições usuais usarei C_{V,m}=\dfrac{5}{2}R).
O enunciado pede:
A) P_{f} em bar.
B) W e Q em kJ. (interpreto como trabalho W e calor Q trocados durante o processo, usando a convenção W positivo quando feito pelo sistema).
C) \Delta S em \mathrm{kJ/K} (variação de entropia do gás entre os estados).

Passo 2

Calcular o número de mols n_{\mathrm{mol}} a partir do estado inicial usando a lei dos gases ideais:
p V = n_{\mathrm{mol}} R T.
Isolando n_{\mathrm{mol}}:
n_{\mathrm{mol}}=\frac{p_{i}V_{i}}{R T_{i}}.
Substituindo valores (usar p_{i}=1{,}0\\ \mathrm{bar}=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}):
n_{\mathrm{mol}}=\frac{(1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa})\cdot(0{,}5\\ \mathrm{m}^{3})}{8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}\cdot293{,}15\\ \mathrm{K}}.
Faço as contas passo a passo:
\text{numerador}=1{,}0\times10^{5}\cdot0{,}5=5{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{Pa\cdot m^{3}}=5{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{J},
\text{denominador}=8{,}314462618\cdot293{,}15\approx2437{,}385\\ \mathrm{J/mol}.
Logo
n_{\mathrm{mol}}\approx\frac{5{,}0\times10^{4}}{2437{,}385}\approx20{,}52\\ \mathrm{mol}.

Passo 3

Encontrar V_{f}. A relação politrópica pV^{n}= constante pode ser combinada com a equação de estado p=\dfrac{n_{\mathrm{mol}} R T}{V}. Substituindo:
\left(\frac{n_{\mathrm{mol}} R T}{V}\right)V^{n} = n_{\mathrm{mol}} R T V^{\,n-1} = \text{const.}
Logo entre os dois estados vale
T_{i} V_{i}^{\,n-1} = T_{f} V_{f}^{\,n-1}.
Isolando V_{f}:
V_{f}=V_{i}\left(\frac{T_{i}}{T_{f}}\right)^{\frac{1}{\,n-1\,}}.
Substituo números: n-1=0{,}3 e \dfrac{1}{n-1}=\dfrac{1}{0{,}3}=3{,}333\ldots.
\frac{T_{i}}{T_{f}}=\frac{293{,}15}{473{,}15}\approx0{,}6197.
Então
V_{f}=0{,}5\cdot(0{,}6197)^{3{,}333\ldots}\approx0{,}5\cdot0{,}2029\approx0{,}10145\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 4

Calcular P_{f} usando a equação de estado no estado final:
P_{f}=\frac{n_{\mathrm{mol}} R T_{f}}{V_{f}}.
Já temos n_{\mathrm{mol}}, T_{f} e V_{f}. Substituindo:
P_{f}=\frac{20{,}52\cdot8{,}314462618\cdot473{,}15}{0{,}10145}\\ \mathrm{Pa}.
Faço a multiplicação do numerador:
20{,}52\cdot8{,}314462618\approx170{,}613\\ \mathrm{J/(K\cdot mol)}\quad\text{e}\quad170{,}613\cdot473{,}15\approx80{,}725{,}4\\ \mathrm{J}.
Dividindo por V_{f}:
P_{f}\approx\frac{80{,}725{,}4}{0{,}10145}\approx795{,}994\\ \mathrm{Pa}\times10^{0}=7{,}95994\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para bar ( 1\\ \mathrm{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}):
P_{f}\approx7{,}96\\ \mathrm{bar}.

Passo 5

Calcular o trabalho W realizado pelo sistema durante o processo politrópico. Para um processo com pV^{n}= constante e n\neq1,
W=\int_{V_{i}}^{V_{f}} p\,dV=\frac{p_{f}V_{f}-p_{i}V_{i}}{1-n}.
Observação: aqui W é o trabalho feito pelo sistema (convencional em termodinâmica). Como é compressão esperamos W<0 (trabalho feito sobre o sistema).
Note que pV=n_{\mathrm{mol}}R T, então p_{f}V_{f}-p_{i}V_{i}=n_{\mathrm{mol}}R(T_{f}-T_{i}). Assim podemos escrever
W=\frac{n_{\mathrm{mol}}R(T_{f}-T_{i})}{1-n}.
Substituo valores:
T_{f}-T_{i}=473{,}15-293{,}15=180{,}0\\ \mathrm{K},
n_{\mathrm{mol}}R(T_{f}-T_{i})=20{,}52\cdot8{,}314462618\cdot180\approx30{,}710{,}3\\ \mathrm{J}.
E como 1-n=1-1{,}3=-0{,}3,
W\approx\frac{30{,}710{,}3}{-0{,}3}\approx-102{,}367{,}7\\ \mathrm{J}=-102{,}37\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação: W\approx-102{,}37\\ \mathrm{kJ} (negativo → trabalho líquido foi feito sobre o gás).

Passo 6

Calcular a variação de energia interna \Delta U. Para gás ideal \Delta U depende só de temperatura:
\Delta U = n_{\mathrm{mol}} C_{V,m} (T_{f}-T_{i}).
Explicar C_{V,m}: para um gás diatômico ideal (modelagem usual para N_{2} a temperaturas moderadas) temos
C_{V,m}=\frac{5}{2}R.
Portanto
C_{V,m}=\frac{5}{2}\cdot8{,}314462618\approx20{,}7861565\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Agora
\Delta U=20{,}52\cdot20{,}7861565\cdot180\\ \mathrm{J}.
Faço as contas:
20{,}52\cdot20{,}7861565\approx426{,}533\\ \mathrm{J/K},
\Delta U\approx426{,}533\cdot180\approx76{,}775{,}9\\ \mathrm{J}=76{,}78\\ \mathrm{kJ}.

Passo 7

Usar a primeira lei da termodinâmica para obter o calor Q. Na convenção usada:
\Delta U = Q - W \quad\Longrightarrow\quad Q=\Delta U + W.
Substituindo valores (usar W em J):
Q\approx76{,}775{,}9\\ \mathrm{J} + (-102{,}367{,}7\\ \mathrm{J})\approx -25{,}591{,}8\\ \mathrm{J}=-25{,}59\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação: Q negativo → calor liberado pelo sistema (ou retirado do sistema) durante a compressão.

Passo 8

Calcular a variação de entropia \Delta S do gás. Para um gás ideal a variação de entropia entre dois estados pode ser escrita (por mols):
\Delta S = n_{\mathrm{mol}}\left[C_{V,m}\ln\!\left(\frac{T_{f}}{T_{i}}\right) + R\ln\!\left(\frac{V_{f}}{V_{i}}\right)\right].
Explico rapidamente: essa fórmula vem da identidade termodinâmica \mathrm{d}S=\dfrac{C_{V,m}}{T}\mathrm{d}T+ \dfrac{R}{V}\mathrm{d}V para gás ideal, integrada entre os estados.
Calculemos os logaritmos:
\ln\!\left(\frac{T_{f}}{T_{i}}\right)=\ln\!\left(\frac{473{,}15}{293{,}15}\right)\approx\ln(1{,}6138)\approx0{,}4789,
\ln\!\left(\frac{V_{f}}{V_{i}}\right)=\ln\!\left(\frac{0{,}10145}{0{,}5}\right)=\ln(0{,}2029)\approx-1{,}5969.
Agora os termos:
n_{\mathrm{mol}}C_{V,m}\ln\!\left(\frac{T_{f}}{T_{i}}\right)\approx20{,}52\cdot20{,}7861565\cdot0{,}4789\approx204{,}31\\ \mathrm{J/K},
n_{\mathrm{mol}}R\ln\!\left(\frac{V_{f}}{V_{i}}\right)\approx20{,}52\cdot8{,}314462618\cdot(-1{,}5969)\approx-272{,}38\\ \mathrm{J/K}.
Somando:
\Delta S\approx204{,}31-272{,}38\approx-68{,}07\\ \mathrm{J/K}=-0{,}06807\\ \mathrm{kJ/K}.
Interpretação: variação de entropia negativa (compressão reduz a entropia do gás). Como o processo foi internamente reversível, essa \Delta S é a variação de entropia do sistema.

Passo 9

Resumo das unidades e sinais (para deixar claro para a prova):
  • P_{f} em bar (resultado positivo): pressão final encontrada.
  • W em \mathrm{kJ}: trabalho positivo quando feito pelo sistema; aqui W<0 indica trabalho feito sobre o gás.
  • Q em \mathrm{kJ}: calor positivo quando fornecido ao sistema; aqui Q<0 indica calor retirado do sistema.
  • \Delta S em \mathrm{kJ/K}: negativo, processo deixa o gás com menos entropia.

Resposta

P_{f}=7{,}96\\ \mathrm{bar}
W=-102{,}37\\ \mathrm{kJ}
Q=-25{,}59\\ \mathrm{kJ}
\Delta S=-0{,}06807\\ \mathrm{kJ/K}

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