\int_{a}^{b}\left(x-x^{2}\right) d x ?
(Dica: qual é o integrando positivo?)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral definida \displaystyle \int_{a}^{b}\left(x-x^{2}\right)\,dx.
Informações dadas: os limites a e b são genéricos (não foi dada relação entre eles). Dica do enunciado: “qual é o integrando positivo?” — isto é, precisamos olhar onde a função x-x^{2} é positiva, nula ou negativa, porque a integral definida mede a área algébrica (área positiva quando a função está acima do eixo x, negativa quando está abaixo).

Passo 2

Entender o integrando e onde ele muda de sinal.
A função é f(x)=x-x^{2}=x(1-x). Os zeros são as soluções de x(1-x)=0, ou seja, x=0 e x=1. Para saber onde é positiva: em um produto de fatores, o produto é positivo quando os dois fatores têm o mesmo sinal. Assim:
  • Se 0<x<1 então x>0 e 1-x>0, logo f(x)>0.
  • Se x<0 ou x>1 então os sinais dos fatores são diferentes e f(x)<0.
    Portanto o integrando é positivo em (0,1), nulo em \{0,1\} e negativo fora de [0,1]. Isso serve para interpretar o sinal da integral, e também para, se necessário, dividir o domínio em pedaços [a,b]\cap(-\infty,0], [a,b]\cap[0,1], [a,b]\cap[1,\infty).

Passo 3

Conceito e técnica: para calcular uma integral de polinômio usamos antiderivadas (primitivas). A regra básica é \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1. Aplicando termo a termo:
\int \left(x-x^{2}\right)\,dx = \int x\,dx - \int x^{2}\,dx.
Usando a fórmula:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}+C,\qquad \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}+C.
Assim uma primitiva de f é
F(x)=\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}.

Passo 4

Avaliar a integral definida com a regra de Barrow: \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a). Substituindo F:
\int_{a}^{b}\left(x-x^{2}\right)\,dx = \left(\frac{b^{2}}{2}-\frac{b^{3}}{3}\right) - \left(\frac{a^{2}}{2}-\frac{a^{3}}{3}\right).
Fazer uma simplificação algébrica para uma forma mais compacta: colocar em denominador comum 6:
\frac{b^{2}}{2}-\frac{b^{3}}{3}=\frac{3b^{2}-2b^{3}}{6}=\frac{b^{2}(3-2b)}{6},
e de modo análogo para a. Então
\int_{a}^{b}\left(x-x^{2}\right)\,dx = \frac{b^{2}(3-2b)-a^{2}(3-2a)}{6}.

Passo 5

Interpretação do resultado e casos práticos (como aplicar na prova): a expressão acima vale para quaisquer a,b. Para entender o sinal da integral sem calcular, use o fato do Passo 2:
  • Se a e b estão dentro de (0,1) com a<b, a integral é positiva (área acima do eixo).
  • Se a e b estão ambos em (-\infty,0] ou ambos em [1,\infty), a integral é negativa (função abaixo do eixo).
  • Se o intervalo atravessa os pontos 0 ou 1, divida a integral em pedaços e some: por exemplo \int_{-1}^{2}=\int_{-1}^{0}+\int_{0}^{1}+\int_{1}^{2}; a peça do meio é positiva, as outras são negativas; a fórmula geral calculada já dá o resultado numérico direto quando se substituem a e b.

Resposta

\displaystyle \frac{b^{2}(3-2b)-a^{2}(3-2a)}{6}

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