(Dica: qual é o integrando positivo?)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral definida
.
Informações dadas: os limites e
são genéricos (não foi dada relação entre eles). Dica do enunciado: “qual é o integrando positivo?” — isto é, precisamos olhar onde a função
é positiva, nula ou negativa, porque a integral definida mede a área algébrica (área positiva quando a função está acima do eixo
, negativa quando está abaixo).
Informações dadas: os limites
Passo 2
Entender o integrando e onde ele muda de sinal.
A função é . Os zeros são as soluções de
, ou seja,
e
. Para saber onde é positiva: em um produto de fatores, o produto é positivo quando os dois fatores têm o mesmo sinal. Assim:
A função é
- Se
então e , logo . - Se
ou então os sinais dos fatores são diferentes e .
Portanto o integrando é positivo em, nulo em e negativo fora de . Isso serve para interpretar o sinal da integral, e também para, se necessário, dividir o domínio em pedaços , , .
Passo 3
Conceito e técnica: para calcular uma integral de polinômio usamos antiderivadas (primitivas). A regra básica é
para
. Aplicando termo a termo:
Usando a fórmula:
Assim uma primitiva de
é
Passo 4
Avaliar a integral definida com a regra de Barrow:
. Substituindo
:
Fazer uma simplificação algébrica para uma forma mais compacta: colocar em denominador comum
:
e de modo análogo para
. Então
Passo 5
Interpretação do resultado e casos práticos (como aplicar na prova): a expressão acima vale para quaisquer
. Para entender o sinal da integral sem calcular, use o fato do Passo 2:
- Se
e estão dentro de com , a integral é positiva (área acima do eixo). - Se
e estão ambos em ou ambos em , a integral é negativa (função abaixo do eixo). - Se o intervalo atravessa os pontos
ou , divida a integral em pedaços e some: por exemplo ; a peça do meio é positiva, as outras são negativas; a fórmula geral calculada já dá o resultado numérico direto quando se substituem e .