Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas que vamos usar: o integrando é uma soma
e
aparece no denominador. A resposta deve ser uma primitiva (ou seja, a antiderivada) mais a constante de integração
.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a expressão usando potências. Lembre que
e que dividir por uma potência equivale a subtrair expoentes. Vou reescrever cada termo:
Portanto o integrando fica
Passo 3
Agora uso a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Ou seja,
Vou lembrar e explicar a regra que vou aplicar (regra da potência para integrais): para qualquer
,
Por que isso funciona? Porque, ao derivar
obtemos
, que recupera a integranda. Essa verificação é rápida e é a razão da fórmula.
Passo 4
Aplicando a fórmula termo a termo.
Para
: aqui
, então
. Assim
Para
: fatoramos o
. Dentro, com
temos
, então
Multiplicando pelo
externo dá
Passo 5
Somando os dois resultados e incluindo a constante de integração
, obtemos a primitiva:
Passo 6
Verificação rápida (boa prática na prova): derivando a resposta deve voltar o integrando.
Derivada de é
.
Derivada de é
.
Somando dá , que é exatamente o integrando simplificado. Ótimo — está correto!
Derivada de
Derivada de
Somando dá
Passo 7
Um exemplo rápido para fixar a técnica: se tivéssemos
, primeiro passo seria transformar em potências
e integrar usando a regra da potência como fizemos acima.