\int \frac{x^{7}+3 x}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{7}+3 x}{\sqrt{x}}\,dx.
Informações dadas que vamos usar: o integrando é uma soma \dfrac{x^{7}}{\sqrt{x}}+\dfrac{3x}{\sqrt{x}} e \sqrt{x} aparece no denominador. A resposta deve ser uma primitiva (ou seja, a antiderivada) mais a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão usando potências. Lembre que \sqrt{x}=x^{1/2} e que dividir por uma potência equivale a subtrair expoentes. Vou reescrever cada termo:
\frac{x^{7}}{\sqrt{x}} = x^{7}\cdot x^{-1/2} = x^{7-\tfrac{1}{2}} = x^{\tfrac{13}{2}},
\frac{3x}{\sqrt{x}} = 3\,x^{1}\cdot x^{-1/2} = 3\,x^{1-\tfrac{1}{2}} = 3\,x^{\tfrac{1}{2}}.
Portanto o integrando fica
\frac{x^{7}+3x}{\sqrt{x}} = x^{\tfrac{13}{2}} + 3\,x^{\tfrac{1}{2}}.

Passo 3

Agora uso a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Ou seja,
\int \left(x^{\tfrac{13}{2}} + 3\,x^{\tfrac{1}{2}}\right)dx = \int x^{\tfrac{13}{2}}dx + 3\int x^{\tfrac{1}{2}}dx.
Vou lembrar e explicar a regra que vou aplicar (regra da potência para integrais): para qualquer n\neq -1,
\int x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Por que isso funciona? Porque, ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1} obtemos \dfrac{n+1}{n+1}x^{n}=x^{n}, que recupera a integranda. Essa verificação é rápida e é a razão da fórmula.

Passo 4

Aplicando a fórmula termo a termo.
Para x^{\tfrac{13}{2}}: aqui n=\tfrac{13}{2}, então n+1=\tfrac{15}{2}. Assim
\int x^{\tfrac{13}{2}}dx = \frac{x^{\tfrac{15}{2}}}{\tfrac{15}{2}} = \frac{2}{15}x^{\tfrac{15}{2}}.
Para 3\int x^{\tfrac{1}{2}}dx: fatoramos o 3. Dentro, com n=\tfrac{1}{2} temos n+1=\tfrac{3}{2}, então
\int x^{\tfrac{1}{2}}dx = \frac{x^{\tfrac{3}{2}}}{\tfrac{3}{2}} = \frac{2}{3}x^{\tfrac{3}{2}}.
Multiplicando pelo 3 externo dá
3\cdot \frac{2}{3}x^{\tfrac{3}{2}} = 2x^{\tfrac{3}{2}}.

Passo 5

Somando os dois resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva:
\frac{2}{15}x^{\tfrac{15}{2}} + 2x^{\tfrac{3}{2}} + C.

Passo 6

Verificação rápida (boa prática na prova): derivando a resposta deve voltar o integrando.
Derivada de \dfrac{2}{15}x^{\tfrac{15}{2}} é \dfrac{2}{15}\cdot \dfrac{15}{2}x^{\tfrac{13}{2}} = x^{\tfrac{13}{2}}.
Derivada de 2x^{\tfrac{3}{2}} é 2\cdot \dfrac{3}{2}x^{\tfrac{1}{2}} = 3x^{\tfrac{1}{2}}.
Somando dá x^{\tfrac{13}{2}}+3x^{\tfrac{1}{2}}, que é exatamente o integrando simplificado. Ótimo — está correto!

Passo 7

Um exemplo rápido para fixar a técnica: se tivéssemos \int \dfrac{x^{3}+2x}{\sqrt{x}}dx, primeiro passo seria transformar em potências
x^{3-\tfrac{1}{2}} + 2x^{1-\tfrac{1}{2}} = x^{\tfrac{5}{2}} + 2x^{\tfrac{1}{2}},
e integrar usando a regra da potência como fizemos acima.

Resposta

\dfrac{2}{15}x^{\tfrac{15}{2}} + 2x^{\tfrac{3}{2}} + C

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