\int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right)^{20} \cdot x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right)^{20}\cdot x\,dx.\n
Informações dadas e observações úteis: \displaystyle o integrando é \left(x^{2}+1\right)^{20}\cdot x, os limites são 0 e 1. Note que aparece o fator x\,dx multiplicando uma função de x^{2}+1 — isso é uma pista importante (mas não vou resolver nada aqui).

Passo 2

Vamos aplicar a técnica de substituição (u-substitution). Ideia básica: quando a integral tem a forma de uma função composta f(g(x)) multiplicada por g'(x)\,dx, podemos trocar a variável para simplificar. Aqui a parte interna óbvia é x^{2}+1. Defino a nova variável
u = x^{2}+1.
Agora calculo a diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a x temos
\frac{du}{dx} = 2x,
logo
du = 2x\,dx.
Desse modo x\,dx = \dfrac{du}{2}. Também é importante trocar os limites da integral para a variável u. Quando x=0,
u = 0^{2}+1 = 1.
Quando x=1,
u = 1^{2}+1 = 2.

Passo 3

Substituo tudo na integral original. A integral em x vira uma integral em u:
\int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right)^{20}\cdot x\,dx = \int_{u=1}^{u=2} u^{20}\cdot \frac{du}{2}.
Posso tirar a constante 1/2 para fora:
\int_{1}^{2} u^{20}\cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2} u^{20}\,du.

Passo 4

Agora uso a regra de potência para integrar u^{n}: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=20, então
\int u^{20}\,du = \frac{u^{21}}{21}.
Aplicando isso à integral definida:
\frac{1}{2}\int_{1}^{2} u^{20}\,du = \frac{1}{2}\left[\frac{u^{21}}{21}\right]_{1}^{2} = \frac{1}{42}\left(u^{21}\right)\Big|_{1}^{2}.
Agora avalio nos limites:
\frac{1}{42}\left(2^{21}-1^{21}\right) = \frac{1}{42}\left(2^{21}-1\right).

Passo 5

Podemos simplificar numericamente. Primeiro calcule 2^{21}. Sabemos que 2^{10}=1024, 2^{20}=(2^{10})^{2}=1024^{2}=1048576, então
2^{21}=2\cdot 2^{20}=2\cdot 1048576=2097152.
Assim o numerador é 2^{21}-1=2097152-1=2097151. Portanto a fração é
\frac{2097151}{42}.
Podemos tentar simplificar essa fração. Observação modular útil: 2^{3}=8\equiv 1\pmod{7}, então 2^{21}=(2^{3})^{7}\equiv 1^{7}\equiv 1\pmod{7}. Isso mostra que 2^{21}-1 é divisível por 7. De fato,
2097151 \div 7 = 299593.
Dividindo o denominador 42 por 7 obtemos 6. Assim a fração simplificada é
\frac{299593}{6}.
Não há mais simplificação com 2 nem com 3 (o numerador é ímpar e a soma dos dígitos 2+9+9+5+9+3=37 não é múltiplo de 3), logo essa é a forma reduzida.

Resposta

\dfrac{299593}{6}

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