\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}^{3}(x) \cos ^{2}(x) d x

Passo 1

Temos que calcular a integral
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}^{3}(x)\cos^{2}(x)\,dx.
Informações dadas: o integrando é \operatorname{sen}^{3}(x)\cos^{2}(x) e os limites de integração são x=0 e x=\pi. A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral definida?

Passo 2

Observação útil para começar (vou explicar passo a passo): a potência de \operatorname{sen} é ímpar ( 3), então é conveniente separar um fator \operatorname{sen}(x) e usar a identidade \operatorname{sen}^{2}(x)=1-\cos^{2}(x). Faço essa manipulação algébrica do integrando:
\operatorname{sen}^{3}(x)\cos^{2}(x)=\operatorname{sen}^{2}(x)\cdot\operatorname{sen}(x)\cdot\cos^{2}(x)=(1-\cos^{2}(x))\operatorname{sen}(x)\cos^{2}(x).
Assim a integral vira
\int_{0}^{\pi} (1-\cos^{2}(x))\operatorname{sen}(x)\cos^{2}(x)\,dx.

Passo 3

Agora faço a substituição clássica para esse tipo de integral: tomo
u=\cos(x).
Então a diferencial é
du=-\operatorname{sen}(x)\,dx,
ou seja \operatorname{sen}(x)\,dx=-du. Também troco os limites: quando x=0 temos u=\cos(0)=1; quando x=\pi temos u=\cos(\pi)=-1. Substituindo tudo na integral original, obtemos
\int_{0}^{\pi} (1-\cos^{2}(x))\operatorname{sen}(x)\cos^{2}(x)\,dx =\int_{1}^{-1} (1-u^{2})u^{2}(-du).
O fator - permite inverter os limites:
\int_{1}^{-1} (1-u^{2})u^{2}(-du)=\int_{-1}^{1} (1-u^{2})u^{2}\,du.
Simplifico o integrando:
(1-u^{2})u^{2}=u^{2}-u^{4},
logo a integral ficou
\int_{-1}^{1} (u^{2}-u^{4})\,du.

Passo 4

Agora integro um polinômio — aqui é simples e direto. A primitiva de u^{2} é \dfrac{u^{3}}{3} e a de u^{4} é \dfrac{u^{5}}{5}. Portanto
\int_{-1}^{1} (u^{2}-u^{4})\,du=\left[\frac{u^{3}}{3}-\frac{u^{5}}{5}\right]_{-1}^{1}.
Avalio nos extremos:
\left(\frac{1^{3}}{3}-\frac{1^{5}}{5}\right)-\left(\frac{(-1)^{3}}{3}-\frac{(-1)^{5}}{5}\right) =\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)-\left(-\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{5}\right)\right).
Calculo com calma:
\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)-\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right) =\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5} =2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right).
E
\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5-3}{15}=\frac{2}{15},
então o resultado é
2\cdot\frac{2}{15}=\frac{4}{15}.

Resposta

\dfrac{4}{15}

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