Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar (integrando) é
. - A variável de integração é
. - O problema é encontrar uma primitiva/antiderivada (ou seja, uma expressão cujo derivado é
), mais a constante de integração .
Passo 2
Ferramenta principal: fórmula da integração por partes. Ela diz que, para funções
e
suficientemente suaves,
Explicando cada símbolo:
-
é uma função escolhida (depende de ); é sua diferencial, isto é . -
é a outra parte do integrando escrita como diferencial; ao integrar obtemos , ou seja .
A ideia prática: escolhe-sede modo que sua derivada seja mais simples, e de modo que seja fácil achar por integração.
Uma regra prática para escolher
quando há polinômio multiplicando exponencial é escolher o polinômio como
(porque ao derivar reduz-se o grau).
Passo 3
Escolha para a primeira aplicação de partes:
Calcule
e
:
Obs.: a integral de
é
porque
.
Passo 4
Aplique a fórmula
:
Simplificando os sinais:
Agora precisamos calcular
. Vamos fazer outra integração por partes.
Passo 5
Calcule
por partes com
Então
Aplicando a fórmula:
Sabendo
, obtemos
(Armazenamos a constante
apenas no final; aqui podemos omitir o
temporariamente.)
Passo 6
Substitua
na expressão obtida no Passo 4:
Desenvolvendo:
Colhendo
em evidência:
Passo 7
Comentário didático rápido: existe uma fórmula de redução que se obtém do mesmo procedimento por partes para potências maiores; para
vale
que para
dá exatamente o passo que fizemos (leva a
). Isso é útil para integrar
de forma sistemática sem repetir raciocínios cada vez.