\int x^{2} e^{-x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x^{2} e^{-x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar (integrando) é x^{2} e^{-x}.
  • A variável de integração é x.
  • O problema é encontrar uma primitiva/antiderivada (ou seja, uma expressão cujo derivado é x^{2} e^{-x}), mais a constante de integração C.

Passo 2

Ferramenta principal: fórmula da integração por partes. Ela diz que, para funções u(x) e v(x) suficientemente suaves,
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Explicando cada símbolo:
  • u é uma função escolhida (depende de x); du é sua diferencial, isto é du = u'(x)\,dx.
  • dv é a outra parte do integrando escrita como diferencial; ao integrar dv obtemos v, ou seja v = \int dv.
    A ideia prática: escolhe-se u de modo que sua derivada du seja mais simples, e dv de modo que seja fácil achar v por integração.
Uma regra prática para escolher u quando há polinômio multiplicando exponencial é escolher o polinômio como u (porque ao derivar reduz-se o grau).

Passo 3

Escolha para a primeira aplicação de partes:
u = x^{2},\qquad dv = e^{-x}\,dx.
Calcule du e v:
du = 2x\,dx, \qquad v = \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.
Obs.: a integral de e^{-x} é -e^{-x} porque \frac{d}{dx}(-e^{-x}) = e^{-x}.

Passo 4

Aplique a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int x^{2} e^{-x}\,dx = u v - \int v\,du = x^{2}\cdot(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})\cdot(2x\,dx).
Simplificando os sinais:
\int x^{2} e^{-x}\,dx = -x^{2} e^{-x} + 2\int x e^{-x}\,dx.
Agora precisamos calcular \int x e^{-x}\,dx. Vamos fazer outra integração por partes.

Passo 5

Calcule I_1=\int x e^{-x}\,dx por partes com
u = x,\qquad dv = e^{-x}\,dx.
Então
du = dx,\qquad v = -e^{-x}.
Aplicando a fórmula:
I_1 = x\cdot(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})\cdot dx = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx.
Sabendo \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}, obtemos
I_1 = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C.
(Armazenamos a constante C apenas no final; aqui podemos omitir o +C temporariamente.)

Passo 6

Substitua I_1 na expressão obtida no Passo 4:
\int x^{2} e^{-x}\,dx = -x^{2} e^{-x} + 2\bigl( -(x+1)e^{-x}\bigr) + C.
Desenvolvendo:
\int x^{2} e^{-x}\,dx = -x^{2} e^{-x} -2(x+1)e^{-x} + C.
Colhendo e^{-x} em evidência:
\int x^{2} e^{-x}\,dx = -\bigl(x^{2}+2x+2\bigr)e^{-x} + C.

Passo 7

Comentário didático rápido: existe uma fórmula de redução que se obtém do mesmo procedimento por partes para potências maiores; para I_n=\int x^{n}e^{-x}\,dx vale
I_n = -x^{n}e^{-x} + n I_{n-1},
que para n=2 dá exatamente o passo que fizemos (leva a I_2=-x^2 e^{-x}+2I_1). Isso é útil para integrar x^n e^{ax} de forma sistemática sem repetir raciocínios cada vez.

Resposta

-\bigl(x^{2}+2x+2\bigr)e^{-x}+C

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