\int_{1}^{e} x^{3} \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{1}^{e} x^{3}\ln x \, dx.
Informações dadas:
  • Limites de integração: 1 e e.
  • Integrando: x^{3}\ln x.
Pergunta explícita: calcular o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Qual técnica usar? Aqui vamos usar a fórmula de integração por partes. Vou explicar essa fórmula devagarinho.
A integração por partes é a versão para integrais da regra do produto na derivação. Se escolhermos duas funções u(x) e v(x) com derivadas/integráveis apropriadas, a fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Explicando cada símbolo:
  • u é uma função que vamos diferenciar; du é sua diferencial, isto é, du = u'(x)\,dx.
  • dv é a parte que vamos integrar; v é uma primitiva de dv, isto é, v = \int dv.
Motivação da escolha: em integrandas do tipo polinômio vezes \ln x, é quase sempre conveniente escolher u=\ln x (porque derivar \ln x simplifica) e dv a parte polinomial x^3\,dx (porque é fácil integrar).

Passo 3

Escolhemos
u = \ln x,\qquad dv = x^{3}\,dx.
Agora calculamos du e v:
Derivando u:
du = \frac{d}{dx}(\ln x)\,dx = \frac{1}{x}\,dx.
Integrando dv:
v = \int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.
Tudo está em ordem: du e v são funções simples.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes para a integral definida, temos
\int_{1}^{e} x^{3}\ln x\,dx = \left[\;uv\;\right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} v\,du.
Substituindo u, v, du:
\int_{1}^{e} x^{3}\ln x\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}\ln x\right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{4}}{4}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando dentro da segunda integral:
\int_{1}^{e} x^{3}\ln x\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}\ln x\right]_{1}^{e} - \frac{1}{4}\int_{1}^{e} x^{3}\,dx.

Passo 5

Agora calculamos cada termo separadamente.
Primeiro termo (a parte uv avaliada nos limites):
\left[\frac{x^{4}}{4}\ln x\right]_{1}^{e} = \frac{e^{4}}{4}\ln e - \frac{1^{4}}{4}\ln 1.
Como \ln e = 1 e \ln 1 = 0, isso vale
\frac{e^{4}}{4}.
Segundo termo (a integral restante):
\frac{1}{4}\int_{1}^{e} x^{3}\,dx = \frac{1}{4}\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{1}^{e} = \frac{1}{4}\left(\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4}\right) = \frac{e^{4}}{16} - \frac{1}{16}.
Subtraindo:
\int_{1}^{e} x^{3}\ln x\,dx = \frac{e^{4}}{4} - \left(\frac{e^{4}}{16} - \frac{1}{16}\right).

Passo 6

Fazendo a álgebra final para combinar termos parecidos:
\frac{e^{4}}{4} - \frac{e^{4}}{16} + \frac{1}{16} = \left(\frac{4e^{4}}{16} - \frac{e^{4}}{16}\right) + \frac{1}{16} = \frac{3e^{4}}{16} + \frac{1}{16}.
Portanto
\int_{1}^{e} x^{3}\ln x\,dx = \frac{3e^{4}+1}{16}.
Verificação rápida (opcional, para confiar no resultado): uma antiderivada encontrada durante o processo é
F(x)=\frac{x^{4}}{4}\ln x - \frac{x^{4}}{16}.
Derivando F verifica-se F'(x)=x^{3}\ln x, o que confirma que o procedimento está correto.

Resposta

\dfrac{3e^{4}+1}{16}

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