Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- Limites de integração:
e . - Integrando:
.
Pergunta explícita: calcular o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Qual técnica usar? Aqui vamos usar a fórmula de integração por partes. Vou explicar essa fórmula devagarinho.
A integração por partes é a versão para integrais da regra do produto na derivação. Se escolhermos duas funções
e
com derivadas/integráveis apropriadas, a fórmula é
Explicando cada símbolo:
-
é uma função que vamos diferenciar; é sua diferencial, isto é, . -
é a parte que vamos integrar; é uma primitiva de , isto é, .
Motivação da escolha: em integrandas do tipo polinômio vezes
, é quase sempre conveniente escolher
(porque derivar
simplifica) e
a parte polinomial
(porque é fácil integrar).
Passo 3
Escolhemos
Agora calculamos
e
:
Derivando
:
Integrando
:
Tudo está em ordem:
e
são funções simples.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes para a integral definida, temos
Substituindo
,
,
:
Simplificando dentro da segunda integral:
Passo 5
Agora calculamos cada termo separadamente.
Primeiro termo (a parte
avaliada nos limites):
Como
e
, isso vale
Segundo termo (a integral restante):
Subtraindo:
Passo 6
Fazendo a álgebra final para combinar termos parecidos:
Portanto
Verificação rápida (opcional, para confiar no resultado): uma antiderivada encontrada durante o processo é
Derivando
verifica-se
, o que confirma que o procedimento está correto.