\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{x^{3}+2} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral definida
\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{x^{3}+2}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é x^{2}\sqrt{x^{3}+2}.
  • Os limites de integração são x=0 e x=1.
    O que precisamos encontrar: o valor numérico exato (em termos de radicais) dessa integral definida.

Passo 2

Ideia do método (explicada passo a passo): quando vemos uma expressão do tipo \sqrt{x^{3}+2} acompanhada de um fator x^{2}\,dx, é muito natural tentar uma substituição que transforme x^{3}+2 numa nova variável. Vou usar a substituição
u = x^{3} + 2.
Agora explico por que isso ajuda e como fazer corretamente. Diferenciando ambos os lados em relação a x temos
\frac{du}{dx} = 3x^{2},
ou seja
du = 3x^{2}\,dx.
Isso permite substituir o pedaço x^{2}\,dx da integral por du/3. Esse é o passo central do método de substituição: escolhemos u para simplificar a parte dentro da raiz e usamos du para substituir o diferencial.

Passo 3

Troca dos limites de integração: como a integral é definida, quando fazemos a substituição precisamos também mudar os limites. Calculamos u nos extremos:
  • Para x=0: u = 0^{3}+2 = 2.
  • Para x=1: u = 1^{3}+2 = 3.
Agora reescrevemos a integral original em termos de u. Usando du = 3x^{2}\,dx (ou x^{2}\,dx = \dfrac{du}{3}) e \sqrt{x^{3}+2} = \sqrt{u} = u^{1/2}, obtemos
\int_{0}^{1} x^{2}\sqrt{x^{3}+2}\,dx = \int_{u=2}^{u=3} u^{1/2}\cdot \frac{du}{3}.

Passo 4

Simplificação da expressão: fatoramos a constante 1/3 para fora da integral:
\int_{2}^{3} u^{1/2}\cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int_{2}^{3} u^{1/2}\,du.
Agora lembro uma fórmula básica de integrais: para qualquer número real n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n = \tfrac{1}{2}, então a antiderivada de u^{1/2} é
\frac{u^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Vou usar isso dentro da integral definida.

Passo 5

Calcular a integral definida: aplicando a antiderivada e o fator 1/3,
\frac{1}{3}\int_{2}^{3} u^{1/2}\,du = \frac{1}{3}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{2}^{3} = \frac{2}{9}\left[u^{3/2}\right]_{2}^{3}.
Agora avaliamos a diferença entre os valores nos limites:
\frac{2}{9}\left(3^{3/2} - 2^{3/2}\right).

Passo 6

Interpretação dos radicais e simplificação final: podemos escrever 3^{3/2} e 2^{3/2} como radicais com raiz quadrada:
3^{3/2} = 3^{1}\cdot 3^{1/2} = 3\sqrt{3}, \qquad 2^{3/2} = 2\sqrt{2}.
Substituindo na expressão obtemos
\frac{2}{9}\left(3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}\right).
Distribuindo o 2/9 se quisermos separar os termos:
\frac{2}{9}\cdot 3\sqrt{3} - \frac{2}{9}\cdot 2\sqrt{2} = \frac{6}{9}\sqrt{3} - \frac{4}{9}\sqrt{2}.
Podemos simplificar \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}, ficando
\frac{2}{3}\sqrt{3} - \frac{4}{9}\sqrt{2}.

Passo 7

Conclusão e verificação rápida: fiz a substituição u=x^{3}+2, troquei os limites corretamente, usei a fórmula básica de antiderivação para potências, avaliei nos limites e simplifiquei os radicais. Tudo está consistente e não foi necessário nenhum cálculo numérico aproximado — o resultado é exato em termos de raízes.

Resposta

\dfrac{2}{9}\bigl(3^{3/2}-2^{3/2}\bigr)
\dfrac{2}{3}\sqrt{3}-\dfrac{4}{9}\sqrt{2}

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