Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral definida
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são
e .
O que precisamos encontrar: o valor numérico exato (em termos de radicais) dessa integral definida.
Passo 2
Ideia do método (explicada passo a passo): quando vemos uma expressão do tipo
acompanhada de um fator
, é muito natural tentar uma substituição que transforme
numa nova variável. Vou usar a substituição
Agora explico por que isso ajuda e como fazer corretamente. Diferenciando ambos os lados em relação a
temos
ou seja
Isso permite substituir o pedaço
da integral por
. Esse é o passo central do método de substituição: escolhemos
para simplificar a parte dentro da raiz e usamos
para substituir o diferencial.
Passo 3
Troca dos limites de integração: como a integral é definida, quando fazemos a substituição precisamos também mudar os limites. Calculamos
nos extremos:
- Para
: . - Para
: .
Agora reescrevemos a integral original em termos de
. Usando
(ou
) e
, obtemos
Passo 4
Simplificação da expressão: fatoramos a constante
para fora da integral:
Agora lembro uma fórmula básica de integrais: para qualquer número real
,
Aqui
, então a antiderivada de
é
Vou usar isso dentro da integral definida.
Passo 5
Calcular a integral definida: aplicando a antiderivada e o fator
,
Agora avaliamos a diferença entre os valores nos limites:
Passo 6
Interpretação dos radicais e simplificação final: podemos escrever
e
como radicais com raiz quadrada:
Substituindo na expressão obtemos
Distribuindo o
se quisermos separar os termos:
Podemos simplificar
, ficando
Passo 7
Conclusão e verificação rápida: fiz a substituição
, troquei os limites corretamente, usei a fórmula básica de antiderivação para potências, avaliei nos limites e simplifiquei os radicais. Tudo está consistente e não foi necessário nenhum cálculo numérico aproximado — o resultado é exato em termos de raízes.