\int x^{6}+\sqrt[3]{x^{2}}+x^{2}+x^{-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{6}+\sqrt[3]{x^{2}}+x^{2}+x^{-1}\,dx.
Informações dadas:
  1. A integral é indefinida (pedem a antiderivada geral, com constante de integração).
  2. A função integranda é a soma de quatro termos: x^{6}, \sqrt[3]{x^{2}}, x^{2} e x^{-1}.
  3. Observe que \sqrt[3]{x^{2}} é uma potência de x (pode ser reescrita como uma potência racional).
  4. O termo x^{-1} é o caso especial que leva a um logaritmo na antiderivada.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a raiz cúbica como potência racional e usar a linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais). Reescrevemos
\sqrt[3]{x^{2}} = x^{2/3}.
Logo podemos separar a integral:
\int \bigl(x^{6}+x^{2/3}+x^{2}+x^{-1}\bigr)\,dx = \int x^{6}\,dx+\int x^{2/3}\,dx+\int x^{2}\,dx+\int x^{-1}\,dx.

Passo 3

Agora usamos a regra da potência para integrais. Regra (importante):
se n\neq -1, então
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Explicação rápida do porquê: a derivada de \frac{x^{n+1}}{n+1} é \frac{n+1}{n+1}x^{n}=x^{n}, então essa é uma antiderivada. Aqui n pode ser inteiro ou racional (contanto que n\neq-1).
Aplicamos essa regra termo a termo.

Passo 4

Integral do primeiro termo \int x^{6}\,dx.
Aqui n=6, então
\int x^{6}\,dx=\frac{x^{6+1}}{6+1}=\frac{x^{7}}{7}.
Expliquei: somamos 1 ao expoente e dividimos por esse novo expoente.

Passo 5

Integral do segundo termo \int x^{2/3}\,dx.
Aqui n=\tfrac{2}{3}. Calculamos n+1=\tfrac{2}{3}+1=\tfrac{5}{3}.
Usando a regra da potência:
\int x^{2/3}\,dx=\frac{x^{5/3}}{5/3}.
Dividir por 5/3 é o mesmo que multiplicar por 3/5. Portanto
\int x^{2/3}\,dx=\frac{3}{5}\,x^{5/3}.
Detalhe aritmético: \dfrac{1}{5/3}=\dfrac{3}{5}.

Passo 6

Integral do terceiro termo \int x^{2}\,dx.
Aqui n=2, então
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{2+1}}{2+1}=\frac{x^{3}}{3}.

Passo 7

Integral do quarto termo \int x^{-1}\,dx.
Este é o caso especial onde n=-1, para o qual a regra da potência não vale (divisão por zero). Conhecemos a antiderivada padrão:
\int x^{-1}\,dx=\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x| + C.
Explicação: a derivada de \ln|x| é 1/x, então \ln|x| é a antiderivada de 1/x. O valor absoluto é necessário para que a fórmula funcione tanto para x>0 quanto para x<0.

Passo 8

Somamos todas as antiderivadas obtidas (lembre-se que só precisamos de uma constante de integração no final). Assim a antiderivada da integranda completa é
\frac{x^{7}}{7}+\frac{3}{5}\,x^{5/3}+\frac{x^{3}}{3}+\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 9

Verificação rápida por diferenciação (controle de qualidade): calculando a derivada termo a termo
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{7}}{7}\right)=x^{6},\qquad \frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{5}x^{5/3}\right)=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{3}x^{2/3}=x^{2/3},
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=x^{2},\qquad \frac{d}{dx}\!\bigl(\ln|x|\bigr)=\frac{1}{x}=x^{-1}.
Somando os resultados obtemos exatamente a função original x^{6}+x^{2/3}+x^{2}+x^{-1}, então a antiderivada está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{7}}{7}+\frac{3}{5}x^{5/3}+\frac{x^{3}}{3}+\ln|x|+C

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