Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A integral é indefinida (pedem a antiderivada geral, com constante de integração).
- A função integranda é a soma de quatro termos:
, , e . - Observe que
é uma potência de (pode ser reescrita como uma potência racional). - O termo
é o caso especial que leva a um logaritmo na antiderivada.
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever a raiz cúbica como potência racional e usar a linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais). Reescrevemos
Logo podemos separar a integral:
Passo 3
Agora usamos a regra da potência para integrais. Regra (importante):
se , então
se
Explicação rápida do porquê: a derivada de
é
, então essa é uma antiderivada. Aqui
pode ser inteiro ou racional (contanto que
).
Aplicamos essa regra termo a termo.
Passo 4
Integral do primeiro termo
.
Aqui , então
Aqui
Expliquei: somamos 1 ao expoente e dividimos por esse novo expoente.
Passo 5
Integral do segundo termo
.
Aqui . Calculamos
.
Usando a regra da potência:
Aqui
Usando a regra da potência:
Dividir por
é o mesmo que multiplicar por
. Portanto
Detalhe aritmético:
.
Passo 6
Integral do terceiro termo
.
Aqui , então
Aqui
Passo 7
Integral do quarto termo
.
Este é o caso especial onde , para o qual a regra da potência não vale (divisão por zero). Conhecemos a antiderivada padrão:
Este é o caso especial onde
Explicação: a derivada de
é
, então
é a antiderivada de
. O valor absoluto é necessário para que a fórmula funcione tanto para
quanto para
.
Passo 8
Somamos todas as antiderivadas obtidas (lembre-se que só precisamos de uma constante de integração no final). Assim a antiderivada da integranda completa é
onde
é a constante de integração.
Passo 9
Verificação rápida por diferenciação (controle de qualidade): calculando a derivada termo a termo
Somando os resultados obtemos exatamente a função original
, então a antiderivada está correta.