Passo 1
O problema pede calcular a primitiva (integral indefinida) da função dada. Ou seja, encontrar uma função
tal que
.\n\nInformações dadas:\n\n- A integranda é
.\n- A variável de integração é
.\n- Trata-se de uma integral indefinida, então teremos uma constante de integração
no final.\n\nNada mais é fornecido; agora vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Observação sobre o tipo de integranda e escolha do método.\n\nA integranda é um produto de um polinômio em
(que é
) por uma exponencial
. Um caminho natural aqui é usar a fórmula de integração por partes. Vou explicar a fórmula e por que escolhemos as partes do produto como faremos.\n\nFórmula de integração por partes:\n
\n\nExplicando os símbolos:\n\n-
é uma função de
que escolhemos para ser derivada (aqui escolhemos algo simples de derivar, normalmente o polinômio).\n-
é o restante da integranda, algo que sabemos integrar facilmente.\n-
é a derivada de
, isto é,
.\n-
é uma primitiva de
, ou seja,
.\n\nEscolha que faremos: tomar
(pois derivar
simplifica) e
(pois integra-se facilmente). Vou primeiro calcular
, depois somo
(porque
é soma).
Passo 3
Calcular
usando integração por partes.\n\nEscolhas:\n\n-
. Então
.\n-
. Então precisamos de
.\n\nCalcule
:\n
\npois a derivada de
é
.\n\nAgora aplicamos a fórmula:\n
\nSubstituindo
,
,
:\n
\nIsso é\n
\nJá sabemos
. Portanto\n
Passo 4
Agora integramos a parte restante da integranda original:
.\n\nJá usamos esse resultado, mas repetindo:\n
Passo 5
Somar as duas integrais para a integranda original.\n\nA integranda original é
. Portanto\n
\nSubstituindo os resultados dos passos anteriores:\n
\nAgrupando termos semelhantes:\n
Passo 6
Verificação rápida (sempre bom checar na prova): derivamos o resultado para confirmar.\n\nCalcule a derivada de
:\n
\nque é exatamente a integranda. Correto!