\int e^{-x}(x+1) d x

Passo 1

O problema pede calcular a primitiva (integral indefinida) da função dada. Ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=e^{-x}(x+1).\n\nInformações dadas:\n\n- A integranda é e^{-x}(x+1).\n- A variável de integração é x.\n- Trata-se de uma integral indefinida, então teremos uma constante de integração C no final.\n\nNada mais é fornecido; agora vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Observação sobre o tipo de integranda e escolha do método.\n\nA integranda é um produto de um polinômio em x (que é x+1) por uma exponencial e^{-x}. Um caminho natural aqui é usar a fórmula de integração por partes. Vou explicar a fórmula e por que escolhemos as partes do produto como faremos.\n\nFórmula de integração por partes:\n \int u\,dv = u v - \int v\,du.\n\nExplicando os símbolos:\n\n- u é uma função de x que escolhemos para ser derivada (aqui escolhemos algo simples de derivar, normalmente o polinômio).\n- dv é o restante da integranda, algo que sabemos integrar facilmente.\n- du é a derivada de u, isto é, du = u'(x)\,dx.\n- v é uma primitiva de dv, ou seja, v=\int dv.\n\nEscolha que faremos: tomar u=x (pois derivar x simplifica) e dv=e^{-x}dx (pois integra-se facilmente). Vou primeiro calcular \int x e^{-x}dx, depois somo \int e^{-x}dx (porque x+1 é soma).

Passo 3

Calcular \int x e^{-x} \,dx usando integração por partes.\n\nEscolhas:\n\n- u = x. Então du = dx.\n- dv = e^{-x}dx. Então precisamos de v=\int e^{-x}dx.\n\nCalcule v:\n v=\int e^{-x}dx = -e^{-x},\npois a derivada de -e^{-x} é -(-e^{-x})=e^{-x}.\n\nAgora aplicamos a fórmula:\n \int x e^{-x}\,dx = u v - \int v\,du.\nSubstituindo u, v, du:\n \int x e^{-x}\,dx = x\cdot(-e^{-x}) - \int(-e^{-x})\cdot dx.\nIsso é\n \int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx.\nJá sabemos \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}. Portanto\n \int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C.

Passo 4

Agora integramos a parte restante da integranda original: \int e^{-x}\,dx.\n\nJá usamos esse resultado, mas repetindo:\n \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C.

Passo 5

Somar as duas integrais para a integranda original.\n\nA integranda original é (x+1)e^{-x} = x e^{-x} + e^{-x}. Portanto\n \int (x+1)e^{-x}\,dx = \int x e^{-x}\,dx + \int e^{-x}\,dx.\nSubstituindo os resultados dos passos anteriores:\n \int (x+1)e^{-x}\,dx = \bigl(-(x+1)e^{-x}\bigr) + \bigl(-e^{-x}\bigr) + C.\nAgrupando termos semelhantes:\n \int (x+1)e^{-x}\,dx = -(x+2)e^{-x} + C.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): derivamos o resultado para confirmar.\n\nCalcule a derivada de F(x)=-(x+2)e^{-x}:\n F'(x) = -\bigl(1\cdot e^{-x} + (x+2)(-e^{-x})\bigr) = -e^{-x} + (x+2)e^{-x} = (x+1)e^{-x},\nque é exatamente a integranda. Correto!

Resposta

-(x+2)e^{-x} + C

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