Integração por substituição
\int 12\left(y^{4}+4 y^{2}+1\right)^{2}\left(y^{3}+2 y\right) d y,
\begin{aligned} & \int \sqrt{x} \operatorname{sen}^{2}\left(x^{3 / 2}-1\right) d x \\\ & \int \frac{1}{x^{2}} \cos ^{2}\left(\frac{1}{x}\right) d x \\\ & \int \frac{(1+\sqrt{x})^{1 / 3}}{\sqrt{x}} d x \\\ & \int 7 \sqrt{7 x-1} d x \\\ & \int\left(1-\cos \frac{t}{2}\right)^{2} \operatorname{sen} \frac{t}{2} d t \\\ & \int \operatorname{sec} 2 t \operatorname{tg} 2 t^{2} d t \\\ & \int \frac{18 \operatorname{tg}^{2} x \operatorname{sec} ^{2} x}{\left(2+\operatorname{tg}^{3} x\right)^{2}} d x \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede resolver, por substituição, as seguintes integrais (vou listar cada integrando exatamente como dado):
  1. \displaystyle \int 12\left(y^{4}+4 y^{2}+1\right)^{2}\left(y^{3}+2 y\right)\,dy
  2. \displaystyle \int \sqrt{x}\,\operatorname{sen}^{2}\!\left(x^{3/2}-1\right)\,dx
  3. \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}}\cos^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right)\,dx
  4. \displaystyle \int \frac{(1+\sqrt{x})^{1/3}}{\sqrt{x}}\,dx
  5. \displaystyle \int 7\sqrt{7x-1}\,dx
  6. \displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}t\;\operatorname{tg}^{2}t\,dt (interpreto aqui a expressão como \operatorname{sec}^{2}t\cdot\operatorname{tg}^{2}t)
  7. \displaystyle \int \frac{18\,\operatorname{tg}^{2}x\;\operatorname{sec}^{2}x}{\left(2+\operatorname{tg}^{3}x\right)^{2}}\,dx
Agora vou resolver cada uma, passo a passo, explicando bem a substituição e as regras usadas.

Passo 2

Integral 1: \displaystyle \int 12\left(y^{4}+4 y^{2}+1\right)^{2}\left(y^{3}+2 y\right)\,dy.
Escolha da substituição: quando aparece uma expressão elevada a uma potência e multiplicada pela derivada “internamente” dessa expressão, a substituição natural é
u = y^{4}+4y^{2}+1.
Calcule a diferencial du. A derivada de y^{4}+4y^{2}+1 é 4y^{3}+8y. Assim,
du = (4y^{3}+8y)\,dy = 4(y^{3}+2y)\,dy.
Isolando (y^{3}+2y)\,dy obtemos
(y^{3}+2y)\,dy = \frac{du}{4}.
Substituindo na integral:
\int 12\,u^{2}\cdot\frac{du}{4} = \int 3\,u^{2}\,du.
Agora integrar usando a regra da potência: para u^{n}, \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C (para n\neq -1). Aqui n=2, então
\int 3u^{2}\,du = 3\cdot\frac{u^{3}}{3} = u^{3}+C.
Voltar para y:
\boxed{(y^{4}+4y^{2}+1)^{3}+C.}

Passo 3

Integral 2: \displaystyle \int \sqrt{x}\,\operatorname{sen}^{2}\!\left(x^{3/2}-1\right)\,dx.
Escolha da substituição: dentro do seno aparece x^{3/2}-1 e há um fator \sqrt{x}\,dx que lembra a derivada de x^{3/2}. Então tomo
u = x^{3/2}-1.
Calcule du. Derivando x^{3/2} obtemos \dfrac{3}{2}x^{1/2}, logo
du = \frac{3}{2}\sqrt{x}\,dx \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}\,du.
Substituindo:
\int \sqrt{x}\,\operatorname{sen}^{2}(x^{3/2}-1)\,dx = \int \operatorname{sen}^{2}u\cdot\frac{2}{3}\,du = \frac{2}{3}\int \operatorname{sen}^{2}u\,du.
Para integrar \operatorname{sen}^{2}u, use a identidade trigonométrica de redução:
\operatorname{sen}^{2}u = \frac{1-\cos 2u}{2}.
Então
\frac{2}{3}\int \operatorname{sen}^{2}u\,du = \frac{2}{3}\int \frac{1-\cos 2u}{2}\,du = \frac{1}{3}\int(1-\cos 2u)\,du.
Integrando:
\int(1-\cos 2u)\,du = u - \frac{1}{2}\operatorname{sen} 2u + C.
Portanto
\frac{1}{3}\left(u - \frac{1}{2}\operatorname{sen} 2u\right)+C.
Voltar para x lembrando u = x^{3/2}-1:
\boxed{\frac{1}{3}\bigl(x^{3/2}-1\bigr)-\frac{1}{6}\operatorname{sen}\bigl(2(x^{3/2}-1)\bigr)+C.}

Passo 4

Integral 3: \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}}\cos^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right)\,dx.
Escolha da substituição: aparece \cos^{2}(1/x) e um fator 1/x^{2}\,dx que lembra a derivada de 1/x. Então tomo
u=\frac{1}{x}.
Calcule du. Derivando u= x^{-1} obtemos du = -x^{-2}\,dx, logo
\frac{1}{x^{2}}\,dx = -du.
Substituindo:
\int \frac{1}{x^{2}}\cos^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right)\,dx = -\int \cos^{2}u\,du.
Usar a identidade \cos^{2}u = \dfrac{1+\cos 2u}{2}:
-\int \cos^{2}u\,du = -\frac{1}{2}\int(1+\cos 2u)\,du = -\frac{1}{2}\left(u + \frac{1}{2}\operatorname{sen} 2u\right)+C.
Simplificando:
-\frac{u}{2}-\frac{1}{4}\operatorname{sen} 2u + C.
Voltar para x com u=1/x:
\boxed{-\frac{1}{2x}-\frac{1}{4}\operatorname{sen}\!\left(\frac{2}{x}\right)+C.}

Passo 5

Integral 4: \displaystyle \int \frac{(1+\sqrt{x})^{1/3}}{\sqrt{x}}\,dx.
Escolha da substituição: vê-se 1+\sqrt{x} elevado a 1/3 e um fator 1/\sqrt{x}\,dx. Tomar
u = 1+\sqrt{x}.
Calcule du. Derivando \sqrt{x} obtemos \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, então
du = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx \quad\Rightarrow\quad \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\,du.
Substituindo:
\int \frac{(1+\sqrt{x})^{1/3}}{\sqrt{x}}\,dx = \int u^{1/3}\cdot 2\,du = 2\int u^{1/3}\,du.
Integrando por potência ( \int u^{n}du = \frac{u^{n+1}}{n+1}):
2\cdot\frac{u^{4/3}}{4/3} + C = 2\cdot\frac{3}{4}u^{4/3}+C = \frac{3}{2}u^{4/3}+C.
Voltar para x:
\boxed{\frac{3}{2}\bigl(1+\sqrt{x}\bigr)^{4/3}+C.}

Passo 6

Integral 5: \displaystyle \int 7\sqrt{7x-1}\,dx.
Escolha da substituição: expressão interna 7x-1 parece óbvia:
u=7x-1.
Calcule du. Derivando obtemos du = 7\,dx ou dx = du/7. Substituindo:
\int 7\sqrt{7x-1}\,dx = \int 7\sqrt{u}\cdot\frac{du}{7} = \int u^{1/2}\,du.
Integrando por potência:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2}+C = \frac{2}{3}u^{3/2}+C.
Voltar para x:
\boxed{\frac{2}{3}\bigl(7x-1\bigr)^{3/2}+C.}

Passo 7

Integral 6: \displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}t\;\operatorname{tg}^{2}t\,dt (interpretação: \operatorname{sec}^{2}t\cdot\operatorname{tg}^{2}t).
Escolha da substituição: quando aparece \operatorname{sec}^{2}t\,dt junto com funções de \operatorname{tg} t, usar u=\operatorname{tg} t é direto, pois du=\operatorname{sec}^{2}t\,dt. Então:
u=\operatorname{tg} t,\qquad du=\operatorname{sec}^{2}t\,dt.
Substituição direta:
\int \operatorname{sec}^{2}t\;\operatorname{tg}^{2}t\,dt = \int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3}+C.
Voltar para t:
\boxed{\frac{\operatorname{tg}^{3}t}{3}+C.}

Passo 8

Integral 7: \displaystyle \int \frac{18\,\operatorname{tg}^{2}x\;\operatorname{sec}^{2}x}{\left(2+\operatorname{tg}^{3}x\right)^{2}}\,dx.
Escolha da substituição: observe que a expressão no denominador é 2+\operatorname{tg}^{3}x e o numerador contém \operatorname{tg}^{2}x\operatorname{sec}^{2}x\,dx. A derivada de \operatorname{tg}^{3}x é 3\operatorname{tg}^{2}x\operatorname{sec}^{2}x, portanto a substituição natural é
u = 2+\operatorname{tg}^{3}x.
Calcule du. Derivando:
du = 3\operatorname{tg}^{2}x\operatorname{sec}^{2}x\,dx \quad\Rightarrow\quad \operatorname{tg}^{2}x\operatorname{sec}^{2}x\,dx = \frac{du}{3}.
Substituindo na integral:
\int \frac{18\,\operatorname{tg}^{2}x\;\operatorname{sec}^{2}x}{\left(2+\operatorname{tg}^{3}x\right)^{2}}\,dx = \int \frac{18}{u^{2}}\cdot\frac{du}{3} = \int \frac{6}{u^{2}}\,du = 6\int u^{-2}\,du.
Integrando:
6\cdot\left(\frac{u^{-1}}{-1}\right)+C = -6u^{-1}+C = -\frac{6}{u}+C.
Voltar para x:
\boxed{-\frac{6}{2+\operatorname{tg}^{3}x}+C.}

Resposta

(y^{4}+4y^{2}+1)^{3}+C
\displaystyle \frac{1}{3}\bigl(x^{3/2}-1\bigr)-\frac{1}{6}\operatorname{sen}\bigl(2(x^{3/2}-1)\bigr)+C
-\dfrac{1}{2x}-\dfrac{1}{4}\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{2}{x}\right)+C
\dfrac{3}{2}\bigl(1+\sqrt{x}\bigr)^{4/3}+C
\dfrac{2}{3}\bigl(7x-1\bigr)^{3/2}+C
\dfrac{\operatorname{tg}^{3}t}{3}+C
-\dfrac{6}{2+\operatorname{tg}^{3}x}+C

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