Integração por substituição
,
Passo 1
O enunciado pede resolver, por substituição, as seguintes integrais (vou listar cada integrando exatamente como dado):
-
-
-
-
-
-
(interpreto aqui a expressão como ) -
Agora vou resolver cada uma, passo a passo, explicando bem a substituição e as regras usadas.
Passo 2
Integral 1:
.
Escolha da substituição: quando aparece uma expressão elevada a uma potência e multiplicada pela derivada “internamente” dessa expressão, a substituição natural é
Calcule a diferencial
. A derivada de
é
. Assim,
Isolando
obtemos
Substituindo na integral:
Agora integrar usando a regra da potência: para
,
(para
). Aqui
, então
Voltar para
:
Passo 3
Integral 2:
.
Escolha da substituição: dentro do seno aparece
e há um fator
que lembra a derivada de
. Então tomo
Calcule
. Derivando
obtemos
, logo
Substituindo:
Para integrar
, use a identidade trigonométrica de redução:
Então
Integrando:
Portanto
Voltar para
lembrando
:
Passo 4
Integral 3:
.
Escolha da substituição: aparece
e um fator
que lembra a derivada de
. Então tomo
Calcule
. Derivando
obtemos
, logo
Substituindo:
Usar a identidade
:
Simplificando:
Voltar para
com
:
Passo 5
Integral 4:
.
Escolha da substituição: vê-se
elevado a
e um fator
. Tomar
Calcule
. Derivando
obtemos
, então
Substituindo:
Integrando por potência (
):
Voltar para
:
Passo 6
Integral 5:
.
Escolha da substituição: expressão interna
parece óbvia:
Calcule
. Derivando obtemos
ou
. Substituindo:
Integrando por potência:
Voltar para
:
Passo 7
Integral 6:
(interpretação:
).
Escolha da substituição: quando aparece
junto com funções de
, usar
é direto, pois
. Então:
Substituição direta:
Voltar para
:
Passo 8
Integral 7:
.
Escolha da substituição: observe que a expressão no denominador é
e o numerador contém
. A derivada de
é
, portanto a substituição natural é
Calcule
. Derivando:
Substituindo na integral:
Integrando:
Voltar para
: