(Integrado RJ-93) O valor de mercado de um apartamento é alterado a cada mês com um acréscimo de 10% em relação ao mês anterior. A sequência de valores do apartamento, a cada mês, forma uma progressão:
a) aritmética de razão 0,1
b) aritmética de razão 1,1
c) geométrica de razão 0,1
d) geométrica de razão 1, 1
e) geométrica de razão 10

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede identificar o tipo de progressão formada pelos valores do apartamento:
  • Informação: o valor de mercado do apartamento é alterado a cada mês com um acréscimo de 10\% em relação ao mês anterior.
  • Informação implícita: isso define uma sequência de valores mensais V_1, V_2, V_3,\dots.
  • O que se pede: entre as alternativas fornecidas, escolher qual descreve corretamente a progressão (aritmética ou geométrica) e a razão indicada.
  • Alternativas dadas (transcritas):
    • a) aritmética de razão 0,1
    • b) aritmética de razão 1,1
    • c) geométrica de razão 0,1
    • d) geométrica de razão 1, 1
    • e) geométrica de razão 10

Passo 2

O que é uma progressão aritmética (PA)?
  • Definição: uma sequência (a_n) é uma PA se a diferença entre termos consecutivos é constante.
  • Em fórmulas: existe d tal que
a_{n+1}=a_n+d\quad\text{para todo }n.
  • Significado de d: é a quantidade fixa somada a cada termo para obter o próximo.
  • Exemplo simples: se a_1=100 e d=5, então a_2=105, a_3=110, etc. Note que o acréscimo é uma quantidade fixa ( 5), não uma porcentagem do termo anterior.

Passo 3

O que é uma progressão geométrica (PG)?
  • Definição: uma sequência (a_n) é uma PG se a razão entre termos consecutivos é constante.
  • Em fórmulas: existe q tal que
a_{n+1}=q\cdot a_n\quad\text{para todo }n.
  • Significado de q: é o fator multiplicativo que transforma um termo no próximo (pode representar crescimento percentual).
  • Exemplo simples: se a_1=100 e q=1,10, então a_2=110, a_3=121, etc. Aqui o aumento é 10\% do termo anterior, ou seja, multiplicação por 1,10.

Passo 4

Aplicando ao problema: interpretar "acréscimo de 10\%".
  • Se o valor no mês n for V_n, um acréscimo de 10\% significa somar 0,10 vezes V_n:
V_{n+1}=V_n + 0,10\cdot V_n.
  • Fatia simples: fatorizar V_n:
V_{n+1}=(1+0,10)\cdot V_n.
  • Portanto
V_{n+1}=1,10\cdot V_n.
  • Observação numérica: 1,10 é numericamente igual a 1,1 — ambas notações representam o mesmo fator multiplicativo.

Passo 5

Confrontando com as definições e as alternativas:
  • Do passo anterior vimos que cada termo é obtido multiplicando o anterior por 1,10. Isso é exatamente a forma de uma PG, com razão q=1,10 (ou q=1,1).
  • Agora analisar cada alternativa:
    • a) "aritmética de razão 0,1": significaria V_{n+1}=V_n+0,1 (soma fixa de 0,1 unidades). Não corresponde a "acréscimo de 10\%", que depende do valor atual — logo é errada.
    • b) "aritmética de razão 1,1": significaria soma fixa de 1,1 unidades por mês, também incompatível com um acréscimo proporcional de 10\%.
    • c) "geométrica de razão 0,1": significaria multiplicar por 0,1 (queda para 10\% do valor anterior), isto é uma redução de 90\%, não um aumento de 10\%.
    • d) "geométrica de razão 1, 1": isso indica uma PG com razão 1,1 (mesma notação que 1,10 numericamente). É compatível com V_{n+1}=1,10\cdot V_n.
    • e) "geométrica de razão 10": isso multiplicaria por 10 (aumentaria 900\%), o que não corresponde a um acréscimo de 10\%.

Passo 6

Conclusão lógica: o acréscimo de 10\% é modelado por multiplicação por 1,10 (ou 1,1), logo a sequência é uma progressão geométrica com razão 1,1.

Resposta

d)

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