(Integrado RJ-93) O valor de mercado de um apartamento é alterado a cada mês com um acréscimo de 10% em relação ao mês anterior. A sequência de valores do apartamento, a cada mês, forma uma progressão:
a) aritmética de razão 0,1
b) aritmética de razão 1,1
c) geométrica de razão 0,1
d) geométrica de razão 1, 1
e) geométrica de razão 10
a) aritmética de razão 0,1
b) aritmética de razão 1,1
c) geométrica de razão 0,1
d) geométrica de razão 1, 1
e) geométrica de razão 10
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede identificar o tipo de progressão formada pelos valores do apartamento:
- Informação: o valor de mercado do apartamento é alterado a cada mês com um acréscimo de
em relação ao mês anterior. - Informação implícita: isso define uma sequência de valores mensais
. - O que se pede: entre as alternativas fornecidas, escolher qual descreve corretamente a progressão (aritmética ou geométrica) e a razão indicada.
- Alternativas dadas (transcritas):
- a) aritmética de razão
- b) aritmética de razão
- c) geométrica de razão
- d) geométrica de razão
- e) geométrica de razão
- a) aritmética de razão
Passo 2
O que é uma progressão aritmética (PA)?
- Definição: uma sequência
é uma PA se a diferença entre termos consecutivos é constante. - Em fórmulas: existe
tal que
- Significado de
: é a quantidade fixa somada a cada termo para obter o próximo. - Exemplo simples: se
e , então , , etc. Note que o acréscimo é uma quantidade fixa ( ), não uma porcentagem do termo anterior.
Passo 3
O que é uma progressão geométrica (PG)?
- Definição: uma sequência
é uma PG se a razão entre termos consecutivos é constante. - Em fórmulas: existe
tal que
- Significado de
: é o fator multiplicativo que transforma um termo no próximo (pode representar crescimento percentual). - Exemplo simples: se
e , então , , etc. Aqui o aumento é do termo anterior, ou seja, multiplicação por .
Passo 4
Aplicando ao problema: interpretar "acréscimo de
".
- Se o valor no mês
for , um acréscimo de significa somar vezes :
- Fatia simples: fatorizar
:
- Portanto
- Observação numérica:
é numericamente igual a — ambas notações representam o mesmo fator multiplicativo.
Passo 5
Confrontando com as definições e as alternativas:
- Do passo anterior vimos que cada termo é obtido multiplicando o anterior por
. Isso é exatamente a forma de uma PG, com razão (ou ). - Agora analisar cada alternativa:
- a) "aritmética de razão
": significaria (soma fixa de unidades). Não corresponde a "acréscimo de ", que depende do valor atual — logo é errada. - b) "aritmética de razão
": significaria soma fixa de unidades por mês, também incompatível com um acréscimo proporcional de . - c) "geométrica de razão
": significaria multiplicar por (queda para do valor anterior), isto é uma redução de , não um aumento de . - d) "geométrica de razão
": isso indica uma PG com razão (mesma notação que numericamente). É compatível com . - e) "geométrica de razão
": isso multiplicaria por (aumentaria ), o que não corresponde a um acréscimo de .
- a) "aritmética de razão
Passo 6
Conclusão lógica: o acréscimo de
é modelado por multiplicação por
(ou
), logo a sequência é uma progressão geométrica com razão
.
Resposta
d)